Áreas de Investigación

Las principales líneas de investigación en el Departamento de Matemáticas son matemáticas aplicadas, ecuaciones diferenciales parciales, geometría, probabilidad, física-matemática y sistemas dinámicos. 

Las principales líneas de investigación en el Departamento de Estadística son Bioestadística, Computación Estadística, Educación Estadística, Estadística Espacial, Estadística Genética, Métodos Bayesianos, Psicometría y Medición Educacional, Series de Tiempo y Aplicaciones Financieras, Teoría General de Modelos: Distribuciones Asimétricas, Errores en las Variables, Identificabilidad y Sensibilidad, Valores Extremos y Riesgo.

Matemáticas 

  • Matemáticas Aplicadas 
Nuestra investigación cubre las áreas de análisis numérico, problemas inversos y optimización. En el análisis numérico nos enfocamos en ecuaciones diferenciales parciales que típicamente representan problemas de la física matemática y electromagnetismo. Estudiamos métodos numéricos y sus propiedades de aproximación, además de problemas de álgebra lineal numérica relacionados. Actualmente cubrimos métodos de elementos finitos y de frontera, métodos de pasos en el tiempo (time-stepping), y métodos de Petrov-Galerkin para problemas perturbados singularmente. Un tópico particular es el desarrollo de algoritmos numéricos rápidos. Estos incluyen el análisis de su precisión y eficacia, y estrategias de pre-acondicionamiento y compresión para sistemas grandes de matrices

En problemas inversos el objetivo es una reconstrucción indirecta de parámetros inciertos usando mediciones de una cantidad afectada por dichos parámetros. Modelos usuales incluyen ecuaciones diferenciales o integrales, donde las incógnitas son parámetros de la ecuación, las mediciones corresponden a conocimiento parcial de la solución, y el objetivo es determinar los coeficientes desconocidos. En tales escenarios, el estudio de los problemas inversos recae fuertemente en técnicas de análisis funcional y sus aplicaciones, incluyendo ecuaciones diferenciales parciales, ecuaciones integrales y/o teoría de operadores.

Un problema de optimización busca encontrar la mejor solución (bajo cierto criterio) sobre un conjunto dado de alternativas. Nos enfocamos en el desarrollo de nuevas técnicas algorítmicas y desarrollos de cotas inferiores para tales problemas. Dependiendo del tipo de problemas las técnicas usadas tienen una naturaleza continua o discreta, incluyendo complejidad computacional, análisis convexo, matemáticas discretas y diseño de algoritmos. El área encuentra múltiples aplicaciones, en particular para problemas que vienen de las ciencias de la computación, investigación de operaciones, economía e ingeniería.

  • Ecuaciones diferenciales parciales
Se analizan la existencia, unicidad y regularidad de las soluciones de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales. Se estudian también la formación de singularidades y patrones, la evolución de ciertos objetos geométricos, y la concentración de energía en estructuras localizadas.
Se busca en algunas ocasiones modelar el comportamiento de un fenómeno físico por medio de sistemas de ecuaciones, o bien simplificar modelos ya existentes por medio de aproximaciones rigurosas y análisis asintóticos. El énfasis está puesto en ecuaciones que requieran del análisis no lineal.

  • Geometría 
Estudiamos las propiedades geométricas de las variedades desde distintos puntos de vista. Se estudia la rigidez de las variedades riemannianas frente a ciertos objetos geométricos, así como la evolución de estas variedades bajo diversos flujos. También se estudian aspectos geométricos y analíticos de funciones univalentes y localmente univalentes en dominios del plano complejo, transformaciones armónicas del plano y su relación con superficies mínimas,  así como a generalizaciones a varias variables complejas. Por otro lado, se estudia la geometría de las superficies algebraicas y sus espacios de móduli, y las superficies K3 en relación a categorías derivadas.  Las principales herramientas provienen del análisis complejo, la geometría diferencial y la geometría algebraica y las ecuaciones diferenciales.

  • Probabilidades
Los principales temas de investigación en el área de probabilidad son ecuaciones diferenciales parciales estocásticas, la ecuación de KPZ, sistemas de partículas, medios aleatorios, marchas aleatorias en medios aleatorios, y probabilidad no conmutativa. 

  • Sistemas Dinámicos
Sistemas Dinámicos es una importante área de la matemática. Su origen puede situarse con los trabajos de mecánica celeste de Poincaré a fines del siglo XIX.  El principal objetivo es comprender el comportamiento cualitativo de sistemas determinísticos.  Las técnicas, preguntas son variadas y van desde el uso de métodos probabilísticos, a técnicas puramente topológicas. Es una disciplina estrechamente relacionada con la física. Por ejemplo, los métodos e ideas de mecánica estadística han influenciado el área.

Por otra parte, sistemas dinámicos ha encontrado aplicaciones en las más diversas áreas de la matemática, desde la teoría de números a las ecuaciones en derivadas parciales. Las aplicaciones son variadas,  desde las finanzas a la sociología. Partes de la teoría de sistemas dinámicos como fractales y caos ha recibido gran atención mediática en el  último tiempo. En la Facultad existe un grupo con diversos intereses, con fuertes redes internacionales, con seminarios, congresos e invitados que lo hacen un lugar perfecto para especializarse en este tema.

  • Física-Matemática

Muchos modelos de la Física Matemática moderna requieren el manejo transversal de herramientas matemáticas como la Geometría no Conmutativa, Geometría Diferencial, Teoría de Representación, Teoría de Operadores, Teoría Espectral, EDP, Probabilidades, Funciones Especiales. En el grupo de Física Matemática se estudia una amplia gama de temas. Dichos temas incluyen desde la Teoría de Dispersión (Scattering theory) hasta la Mecánica Estadística pasando por la Teoría de Resonancias, el estudio de los Operadores de Schrödinger, Hamiltonianos magnéticos, Operadores Aleatorios, Sistemas Ergódicos, Sistemas Cuánticos no Autónomos, Sistemas Cuánticos Abiertos, Sistemas Integrables, Sistemas Cuánticos Topológicos y varios otros.


Estadística

  • Bioestadística
Se considera tanto desarrollo metodológico como aplicaciones motivadas por problemas de biología y medicina, incluyendo genética, ensayos clínicos, y estudios longitudinales.

  • Computación Estadística 
Se estudian algoritmos eficientes para la resolución de problemas originados en la aplicación de métodos estadísticos. Estos incluyen estimación de máxima verosimilitud y/o bayesiana (paramétrica y no paramétrica) para modelos de respuesta al ítem, cálculo de curvas ROC, modelos para datos longitudinales y regresión no lineal con múltiples tipos de covariables, entre otros. El estudio incluye tanto la implementación computacional eficiente de la metodología así como algunas de sus propiedades teóricas.

  • Educación Estadística
Estudia cuáles son los rasgos fundamentales de la Estadística y utiliza esto en la definición de estrategias para su enseñanza en todos los niveles: la escuela, la universidad y la formación de profesores, así como para el público general. Las estrategias incluyen, en particular, la utilización de las nuevas tecnologías de la información. Finalmente se busca aplicar los resultados obtenidos al caso chileno. 

  • Estadística Espacial
Se enfoca en el desarrollo de métodos estadísticos que toman en cuenta la información contenida en la ubicación de unidades experimentales o sujetos en un estudio. 

  • Estadística Genética
Se estudian y desarrollan métodos estadísticos para hacer inferencia en datos genéticos, usualmente en humanos. Se considera la genética de poblaciones, epidemiologia genética y genética cuantitativa. Esta línea interactúa de manera importante con bioinformáticos y biólogos. 

  • Métodos Bayesianos
Se considera el desarrollo y estudio de propiedades de modelos de probabilidad desde un punto de vista bayesiano, tanto paramétrico como no paramétrico. Se incluyen además aspectos relativos al desarrollo de métodos eficientes para implementar la inferencia estadística mediante simulación a posteriori. 

  • Psicometría y Medición Educacional
El foco principal es el modelamiento estadístico de problemas motivados por la política educacional chilena. Algunos de los temas abordados por la línea son: teoría de respuesta al ítem, valor agregado y efectividad escolar, puntuación y equating, problemas de identificación en modelos de Teoría de Respuesta al Ítem.

  • Series de Tiempo y Aplicaciones Financieras
Considera el desarrollo de métodos estadísticos para el análisis de series cronológicas así como el estudio y predicción de series financieras. Es decir, aquellas que resultan de la evolución de índices económicos e instrumentos del mercado financiero. 

  • Teoría General de Modelos
Distribuciones Asimétricas, Errores en las Variables, Identificabilidad y Sensibilidad
Las distribuciones asimétricas son importantes para generalizar los modelos lineales elípticos. El Análisis de Sensibilidad estudia el efecto de perturbaciones en los supuestos del modelo y/o de modificaciones en los datos. Los errores de medición aparecen con frecuencia en diversas áreas del conocimiento. En identificabilidad, se desarrolla investigación en modelos estructurales con énfasis en psicometría. 

  • Valores Extremos y Riesgo
Se enfoca en el modelamiento estadístico de eventos extremos, con particular incidencia en sus aplicaciones en la evaluación del riesgo. Algunos temas de interés son extremos multivariados y extremos espaciales. El desarrollo de métodos bayesianos no paramétricos apropiados para el modelamiento de colas pesadas es otro tema de interés.