Santiago Number Theory and Algebra Seminar (SANTAS)

El Santiago Number Theory and Algebra Seminar (SaNTAS) es un seminario de investigación organizado en conjunto por la Universidad de Santiago de Chile, la Universidad de Chile y la Pontificia Universidad Católica de Chile. Nos reuniremos este semestre los días lunes a las 14:00hrs, en la Sala 2 de la Facultad de Matemáticas.
Los expositores serán investigadores invitados que trabajan en temas afines al álgebra y teoría de números, y está orientado a estudiantes de postgrado e investigadores de universidades locales.

Organizadores: David Grimm (Usach), Giancarlo Lucchini (UCh), Natalia García (UC).

2018-12-03
14:00hrs.
Winfried Kohnen. Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg
On the Ramanujan-Petersson conjecture for modular forms of half-integral weight
Sala 2
Abstract:
We will discuss several aspects of a 'Ramanujan-Petersson conjecture' for the growth of the Fourier coefficients of a cusp form of half-integral weight.
2018-11-26
14:00hrs.
David Leep. University of Kentucky
Homogeneous forms over p-adic fields
Sala 2
Abstract:

A conjecture due to E. Artin stated that a system of $r$ homogeneous forms having degrees $d_1, d_2,\ldots, d_r$ in $n$ variables defined over a $p$-adic field $K$ should have a nontrivial common zero defined over $K$ as long as $n > d_1^2 + \ldots + d_r^2$.

Although this conjecture turned out to be false in general, the conjecture also turned out to be true in many cases. The determination of exactly when the conjecture is true and when it is false has become a fascinating and important question in number theory, as the question is directly related to questions of finding rational points on varieties.

This talk will focus on the motivation for Artin's conjecture, cases when the conjecture is true, some counterexamples, and some words on the techniques involved.

2018-11-19
14:00hrs.
Pedro Mendoza. Pontificia Universidad Católica de Chile
Progresiones aritméticas de puntos enteros en curvas elípticas congruentes de rango mayor que 1
Sala 2
Abstract:
Una x-progresión aritmética en una curva elíptica es un conjunto de puntos racionales tales que sus coordenadas x estén en progresión aritmética. Es natural preguntarse que tan larga puede ser una x-progresión. Hay diversos resultados que responden parcialmente a esta pregunta. Entre ellos, un resultado de Bremner, Silverman, y Tzanakis dice que no hay x-progresiones aritméticas no triviales de puntos enteros en curvas elípticas congruentes de rango 1. En esta charla se hará un breve repaso por los resultados que se conocen hasta el momento, y se mostrará un nuevo resultado de este tipo para curvas elípticas congruentes.
2018-11-05
14:00hrs.
Gabriel Ramírez. Pontificia Universidad Católica de Chile
Cotas inferiores para reguladores de cuerpos de números
Sala 2
Abstract:
El objetivo de esta charla es explicar un método que permite encontrar buenas cotas inferiores para reguladores de cuerpos de números. 
Para ello expondremos una desigualdad geométrica y una analítica que serán las principales herramientas de este procedimiento. Como una aplicación directa explicaremos como encontrar el regulador minimal de todos los cuerpos de números con una signatura dada.
Al final de la charla discutiremos las limitaciones y posibles mejoras de esta técnica.
2018-10-29
14:00hrs.
Gonzalo Manzano. Universidad de Santiago de Chile
Sumas de cuadrados en cuerpos de funciones de curvas elípticas e hiperelípticas sobre el cuerpo de series formales reales
Sala 2
Abstract:
¿Es cada elemento positivo una suma de dos cuadrados en un cuerpo de funciones de una curva sobre el cuerpo de los números reales? Witt (1934) demostró, de forma analítica, que la respuesta a esta pregunta es afirmativa, y por demostraciones algebraicas que siguieron después, el resultado fue generalizado a curvas sobre una clase más amplia de cuerpos formalmente reales, llamados cuerpos hereditariamente euclideos. 

En el caso de curvas de género cero, se pudo extender el resultado incluso a una clase de cuerpos mas amplia aún, llamados cuerpos hereditariamente pitagóricos, ademas se demostró que el resultado de Witt no se cumple en curvas de género cero sobre cualquier cuerpo formalmente real que no es hereditariamente pitagórico. Un ejemplo típico de un cuerpo hereditariamente pitagórico que no es euclideo es el cuerpo de series formales reales. Una pregunta natural a esto entonces era; ¿podemos extender el resultado de Witt a curvas de cualquier género sobre un cuerpo hereditariamente pitagórico?

Presentaremos un ejemplo (encontrado por Tikhonov) de un cuerpo de funciones de una curva elíptica sobre el cuerpo de series reales donde existe un elemento totalmente positivo  que es una suma de tres cuadrados pero no es una suma de dos cuadrados. En general, se sabe que cada elemento totalmente positivo es una suma de 3 cuadrados, y que la mayoría son de hecho sumas de 2 cuadrados en el siguiente sentido:

El índice N del grupo multiplicativo de sumas de dos cuadrados en el grupo de elementos totalmente positivos es finito. Se sabe que este índice N es acotado por una cota que depende solamente del género de la curva, pero no se sabe si estas cotas efectivamente son óptimas (y probablemente no las son). En el caso de curvas de género 1 se sabe que el índice N es acotado por 4 y en curvas elípticas es acotado por 2 (esto se puede determinar a partir de su geometría) por lo que en el caso de la curva elíptica encontrada por Tikhonov, el índice es exactamente 2. En la charla, mostraré un ejemplo concreto de una curva real de género 1 donde se cumple N=4, así demostraré la optimalidad de la cota.

En el caso de curvas hiperelípticas de género g, sabemos que el índice N es acotado por $2^{g+1}$. Mostraré ejemplos de curvas hiperelípticas para cada género g donde el índice es optimal $N=2^{g+1}$. Finalmente discutiré las siguientes preguntas:

¿Es $2^{g+1}$ la cota para el índice N de curvas de cualquier género g, no necesariamente hiperelípticas?

¿Podemos determinar efectivamente el índice N de una curva concreta a partir de su geometría (aritmética)?
2018-10-08
14:00hrs.
Maximiliano Leyton. Universidad de Talca
Resoluciones simultáneas de singularidades, deformaciones y espacios de m-jets
Sala 2
Abstract:
Una variedad algebraica afín es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinomiales, y es uno de los objetos de principal interés en la geometría algebraica. El estudio de su lugar singular es uno de los temas fundamentales del área. Para estudiarlo se utilizan diferentes técnicas, por ejemplo: creación de invariantes combinatorios (topológicos, analíticos, algebraicos, etc..), resolución de singularidades, deformaciones de la estructura algebraica, espacios de m-jets, etc..

En el caso de singularidades aisladas de hipersuperficies complejas de dimensión n, uno de los invariantes combinatorios más importante es el número de Milnor (El rango del n-ésimo grupo de homología de la fibra de Milnor). Si consideramos una deformación de la hipersuperficie que preserva el número de Milnor, es natural hacer las siguientes preguntas: ¿el tipo topológico de la deformación se mantiene constante? ¿existe resolución simultánea (incrustada)? ¿se induce una deformación de los espacios de m-jets? etc..
 
En esta charla introduciremos los conceptos básicos y resultados conocidos al respecto. Al final de la charla trataremos algunos resultados recientes obtenidos en colaboración con Mark Spivakovsky (Universidad de Tolouse) y Hussein Mourtada (Universidad Paris Diderot).
2018-09-24
14:00hrs.
Yves Martin. Universidad de Chile
Sobre coeficientes de Fourier que determinan formas de Siegel de grado 2
Sala 2
Abstract:
Los coeficientes de Fourier de una forma cuspidal de Siegel de grado 2 están indexados por el conjunto J de matrices simétricas, semi-enteras, definidas positivas. La colección completa determina la forma de Siegel univocamente, sin embargo no es necesario conocerlos todos para determinar completamente la forma cuspidal. En 1981 Zagier mostró que bastaba conocer los coeficientes indexados por las matrices primitivas en J. y Saha, en 2013, mostró que los coeficientes indexados por matrices con determinante igual a un discriminante fundamental impar eran suficiente. 
 
En esta charla veremos que los coeficientes indexados por matrices diagonales con determinante igual a un discriminante fundamental par son suficientes. La discusión incluirá una introducción sencilla a los elementos de la teoría de formas de Siegel que se necesiten.
2018-09-10
14:00hrs.
Sebastián Rahausen. Universidad de Chile
Inmersiones de Galois de variedades proyectivas
Sala 2
Abstract:
En 2007 Hisao Yoshihara introdujo una noción notable para el estudio de variedades proyectivas y sus cuerpos de funciones la cual es llamada inmersión de Galois.
En esta charla introduciremos las nociones y resultados básicos sobre las inmersiones de Galois. Plantearemos algunos problemas que surgen naturalmente y veremos su aplicación al estudio de ciertas variedades.
2018-09-03
14:00hrs.
Xavier Vidaux. Universidad de Concepción
Conexión entre un resultado de Uchida y uno de Lüneburg con respecto a la monogeneidad de campos de números
Sala 2
Abstract:
En 1878, Dedekind dio un criterio para decidir si un primo divide al índice de un orden en un orden maximal. En esta charla, discutiremos la conexión entre dicho criterio, un criterio de Uchida, y un criterio de Lüneburg. 
Es un trabajo en conjunto con Carlos R. Videla. 
2018-08-27
14:00hrs.
Damaris Schindler. Utrecht University
Diophantine inequalities for ternary diagonal forms
Sala 2
Abstract:
We discuss small solutions to ternary diagonal inequalities of any degree where all of the variables are assumed to be of size P. We study this problem on average over a one-parameter family of forms and discuss a generalization of work of Bourgain on generic ternary diagonal quadratic forms to higher degree. In particular we discuss how these Diophantine inequalities are related to counting rational points close to varieties.
2018-08-20
14:00hrs.
Anita Rojas. Universidad de Chile
Acciones de grupo en Superficies de Riemann y Variedades abelianas
Sala 2
Abstract:
Comenzaremos definiendo rápidamente los objetos de estudio: Superficies de Riemann y Variedades Abelianas. Luego estudiaremos algunas consecuencias de considerar grupos actuando en ellas. En particular estudiaremos la llamada descomposición según el álgebra de grupo de una variedad abeliana con acción, y la aún-no-del-todo-clara relación con la clase topológica de la acción. Mencionaremos algunas preguntas abiertas al respecto.
 
En una segunda parte, estudiaremos descomposiciones que no descansan en las simetrías de la variedad, lo que permite ir más allá de la descomposición según el álgebra de grupo y es quizás una forma de atacar algunos de los problemas abiertos que mencionaremos antes.
2018-08-13
14:00hrs.
Sergio Troncoso. Pontificia Universidad Católica de Chile
Algunos resultados topológicos sobre los esquemas puntuales de Hilbert y los esquemas cociente
Sala 2
Abstract:
El objetivo de esta charla es presentar los resultados básicos sobre la topología de los esquemas puntuales de Hilbert $X^{[n]}$, para curvas y superficies. En especial se enfatiza en el caso $X = \mathbb{P}^2$, al final se presenta una generalización natural del esquema puntual de Hilbert llamado el esquema Quot y se mostrará algunos resultados nuevos. 
2018-08-06
14:00hrs.
Amalia Pizarro. Universidad de Valparaíso
Crecimiento del conductor de Artin
Sala 2
Abstract:
Si $K$ es un cuerpo de números tal que $K/\mathbb{Q}$ es Galois y $\chi$ el caracter de una representación de $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$, el conductor de Artin $f_{\chi}$ asociado a $\chi$ es un entero positivo que aparece en la ecuación funcional de la función $L$ de Artin de $\chi$. En algún sentido, este invariante mide la complejidad de la función. Se relaciona con el discriminante $D_K$ del cuerpo $K$ vía la fórmula conductor-discriminante.

Sobre discriminantes, de los trabajos de Minkowski se sabe que existe una constante $C$ tal que $|D_K|>C^{[K:\mathbb{Q}]}$. Lo anterior también fue probado para conductores por Odyzko en 1977 y mejorado por P-M. en 2011.

En 1978 utilizando torres de cuerpos de clases infinitas, J. Martinet muestra la existencia de una sucesión de cuerpos de números $K_n$ con grado creciente y $|D_{K_n}|^{1/[K_n:\mathbb{Q}]}$ acotado.

En esta charla revisaremos algunos de estos resultados clásicos y mostraremos que lo anterior también vale para conductores de Artin. En particular mostraremos la existencia de una sucesión de caracteres de Artin con grado creciente y con $f_{\chi}^{\chi(1)}$ acotado.
2018-07-04
14:30hrs.
Benoit Loisel. Ens Lyon
Explicit minimal generation of some linear pro-p groups
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Let $G$ be a semisimple group defined over a non-Archimedean local field $K$, typically $SL_n(\mathbb{Q}_p)$, with residual characteristic $p$. We have a topological group structure on the group of rational points $G(K)$. The maximal compact subgroups of $G(K)$ can be realized as some stabilizers for a suitable action of the group $G(K)$ on a polysimplicial complex called the Bruhat-Tits building.
In this talk, we begin with a brief introduction to the theory of Bruhat-Tits buildings, which is used to describe the maximal compact and pro-$p$ subgroups of $G(K)$. The latter play a role analogous to that of the $p$-Sylows of a finite group and are, in particular, pairwise conjugate. Under suitable assumptions, we can explicitly describe a minimal set of topological generators of a maximal pro-$p$ subgroup. The minimal number of these topological generators is then linear in some combinatorial datum defined from $G$, namely the rank of a well-chosen root system.
2018-06-27
14:30hrs.
Giancarlo Urzúa. Pontificia Universidad Católica de Chile
Variedades hiperbólicas
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Luego de definir y dar ejemplos de variedades hiperbólicas, discutiré sobre su relevancia y existencia, finalizando con un corolario de un trabajo en conjunto con Natalia García sobre la existencia de intersecciones completas hiperbólicas de grados bajos. Esta última parte la explicaré a través de variedades cuboides, las cuales son generalizaciones de la variedad del problema del cuboide perfecto de Euler. Indicaré preguntas abiertas geográficas que quedaron en el camino. 
2018-06-20
14:30hrs.
Matías Alvarado. Universidad de Chile
Puntos fijos en endomorfismos de toros complejos y variedades abelianas
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
En el último tiempo ha sido bastante fructífero estudiar aspectos asintóticos en geometría algebraica. Por este motivo, en esta charla aplicaremos este método para estudiar ciertas propiedades de toros complejos. Más específicamente, estudiaremos el número de puntos fijos de las iteraciones de un endomorfismo, y como los distintos comportamientos de este número pueden dar información sobre el toro. Para esto, usaremos herramientas de aproximación diofantina y teoría de números, como la medida de Mahler.
En la segunda parte de la charla estudiaremos el caso de las variedades abelianas simples, y como el comportamiento asintótico se relaciona en este caso con el tipo de álgebra de endomorfismos que presenta la variedad. Para finalizar, veremos que un endomorfismo define cierto sistema dinámico, y se mostrará cuando un número de Salem puede aparecer como entropía de dicho sistema, lo cual dependerá del tipo de multiplicación de la variedad y del comportamiento asintótico de los puntos fijos.
2018-06-13
14:30hrs.
Matthieu Arfeux. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Espacio de Berkovich y compactificación de Deligne-Mumford en dinámica holomorfa
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Inspirado de una compactificación introducida por Deligne y Mumford, desarrollé en mi tesis un vocabulario bastante simple para compactificar el espacio de moduli de fracciones racionales de grado dado. Éste permite dar una idea más intuitiva de la dinámica sobre la linea proyectiva de Berkovich. En otras palabras, traté de dar una "buena" compactificación del espacio naturalmente estudiado en dinámica holomorfa (iteración de fracciones racionales en la esfera de Riemann) mediante la introducción de dinámica en árboles de esferas, lo cual se relaciona muy bien con la dinámica no arquimedeana.
La dinámica sobre la linea proyectiva de Berkovich se usa bastante también en teoría de números, pero generalmente el formalismo asociado a este objeto lo hace difícil de entender a través de la literatura. Durante esta charla,expondré de manera heurística lo que es el espacio de Berkovich con la dinámica asociada a una fracción racional en este mismo, y mostraré como se relaciona con mi tesis de doctorado y preguntas interesantes de dinámica holomorfa.
2018-06-06
14:30hrs.
Stephen Griffeth. Universidad de Talca
Aplicaciones de las fórmulas de las normas de polinomios ortogonales en la teoría de representaciones
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Explicaré como las fórmulas explícitas para las normas de polinomios ortogonales entran en dos problemas con origen en la teoría de representaciones de álgebras de Cherednik: primero, en la clasificación de representaciones unitarias de álgebras de Cherednik, y segundo, en la construcción de una equivalencia de Morita entre el álgebra de Cherednik y su sub-álgebra esférica (la cuál tiene una relación íntima con la geometría del esquema de Hilbert de puntos en una superficie). Mi intención es dar una charla para un público general de matemáticos, y no asumiré ninguna familiaridad con el álgebra de Cherednik ni la teoría de representaciones.
2018-05-30
14:30hrs.
Sebastián Reyes. Universidad de la Frontera
Superficies de Riemann determinadas por sus grupos de automorfismos
Sala de Seminarios, Departamento de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Los grupos de automorfismos de superficies de Riemann compactas han sido extensamente estudiados, atrayendo la atención de importantes matemáticos, como Wiman, Hurwitz y Klein, entre otros. Un resultado clásico asegura que el orden del grupo de automorfismos de una superficie de Riemann compacta de género g ≥ 2 está acotado por 84(g − 1).
Un interesante problema para considerar es entender en qué medida el orden del grupo de automorfismos puede determinar la superficie de Riemann. Este problema relaciona aspectos algebraicos y geométricos.
El objetivo de esta charla es discutir algunos ejemplos clásicos.
2018-05-23
14:30hrs.
Nicolas Thériault. Universidad de Santiago de Chile
Resolver el logaritmo discreto utilizando información parcial
Sala de Seminarios, Departamento de Matemáticas Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Calcular el logaritmo discreto en un grupo cíclico genérico (sin estructura especial utilizable) es un problema computacional difícil, y es a la base de muchos criptosistemas actuales.  En grupos escritos aditivamente, la operación principal de la encriptación es la multiplicación escalar (calcular la suma de $r$ copias de un generador), y existen varias técnicas para hacer este cálculo más eficiente. En algunas situaciones, el trabajo computacional hecho durante la multiplicación escalar puede dejar filtrar información sobre el escalar mismo. En esta charla veremos como evaluar el efecto práctico (sobre la dificultad del logaritmo discreto) cuando la multiplicación escalar dejar filtrar una parte de la información sobre el escalar mismo.