Santiago Number Theory and Algebra Seminar (SANTAS)

El Santiago Number Theory and Algebra Seminar (SaNTAS) es un seminario de investigación organizado en conjunto por la Universidad de Santiago de Chile, la Universidad de Chile y la Pontificia Universidad Católica de Chile. Nos reuniremos este semestre los días miércoles a las 14:00hrs, en la Sala de seminarios del Departamento de Matemática de la Universidad de Chile (Las Palmeras).
Los expositores serán investigadores invitados que trabajan en temas afines al álgebra y teoría de números, y está orientado a estudiantes de postgrado e investigadores de universidades locales.

Organizadores: David Grimm (Usach), Giancarlo Lucchini (UCh), Natalia García (UC).


2018-04-25
14:30hrs.
Ignacio Saavedra. Universidad de Chile
Edificios de Bruhat-Tits
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas, Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
En los años 50 J. Tits introdujo una construcción geométrica llamada "edificios esféricos", los cuales son complejos simpliciales que contienen subcomplejos finitos que triangulan a la esfera, dichos subcomplejos se llaman (de)(a)partamentos.
La idea de está construcción se basa en la búsqueda de espacios, en los cuales, un grupo dado actúe preservando las propiedades geométricas.
 
Posteriormente Bruhat y Tits construyeron edificios en los cuales los (de)(a)partamentos son una triangulación de un espacio Euclideano, dichos edificios, conocidos como Edificios de Bruhat-Tits o Edificio Euclideano, están asociados con ciertos grupos algebraicos lineales sobre un cuerpo local no arquimediano K.
 
En esta charla, definiremos los edificios de Bruhat-Tits desde lo básico y daremos algunos ejemplos para finalizar con una breve explicación de mi trabajo de tesis.
2018-04-18
14:30hrs.
Mathieu Florence. Université Pierre Et Marie Curie (Paris 6)
Splitting Families in Galois Cohomology
Sala A, Facultad de Ciencias, Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Let $F$ be a field, and let $A/F$ be a central simple algebra. Recall that $A$ is said to be split, if $A$ is isomorphic to a matrix algebra over $F$. The Severi-Brauer variety of $A$, denoted by $SB(A)$, is a variety over $F$, with the following remarkable property: for any field extension $E/F$, the variety $SB(A)$ has an $E$-point if and only if $A$ splits over $E$. In this talk, we will discuss a vast generalization of this classical construction.

Namely, let $n\geq 2$ be an integer, and let $x$ be a Galois cohomology class in $H^n(F,A),$ where $A$ is a finite Galois module over $F$. We will explain how to build an ind-variety $V(x)$, defined over $F$, such that the following holds. For any field extension $E/F$, $V(x)$ has an $E$-point if and only if $x$ vanishes in $H^n(E,A)$. This is joint work with Cyril Demarche (Paris 6).

[OJO! Hay cambio de sala. Para los que no sepan llegar, un grupo partirá desde el departamento de matemáticas (el lugar habitual) 5 minutos antes de la charla.]
2018-04-11
14:30hrs.
Tomás Seguel. Universidad de Santiago de Chile
Sobre Sumas de Cuadrados en R(X,y) y Curvas Elípticas en R(X)
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:

En esta charla se expondrá el resultado principal de un paper de Cassels, Ellison y Pfister (1970).
Toda función de R(X,Y) semidefinida positiva es una suma de cuadrados de R(X,Y) (Hilbert 1893), más aún, es conocido que todas ellas se pueden escribir como una suma de cuatro cuadrados de R(X,Y) (Landau 1906). Sin embargo tuvo que transcurrir bastante tiempo antes de lograr responder a la pregunta de si cuatro cuadrados es la cantidad mínima con la cual se puede escribir cualquiera de estas.
Durante la charla se exhibirá el primer ejemplo de una función semidefinida positiva en R(X,Y) que no es una suma de tres cuadrados de R(X,Y), el llamado “polinomio de Motzkin”, respondiendo así a la interrogante planteada previamente. Para realizar esto, veremos que el polinomio de Motzkin tiene asociada cierta curva elíptica, en donde la información de ser una suma de tres cuadrados se traduce en la existencia de ciertos puntos racionales de esta en R(X). Así, el problema principal consiste en estudiar el grupo de los puntos racionales de la curva elíptica.

2018-04-04
14:30hrs.
Óscar Vega. California State University, Fresno
Unitales en los Planos de Figueroa
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
La mayoría de los esfuerzos dedicados a entender planos proyectivos finitos está restringida al estudio de planos de traslación y de las estructuras que contienen. Esto se debe a que las mejores herramientas disponibles en Geometría Finita están disponibles sólo para planos de traslación. Naturalmente, planos que no son de traslación son difíciles de encontrar y difíciles de estudiar. Un ejemplo de estos planos que es particularmente complejo es la familia de los planos de Figueroa.

En la primera mitad de esta charla, construiremos los planos de Figueroa siguiendo el trabajo de Grundhöfer (1986) en vez de la construcción original de Figueroa (1982). En la segunda mitad nos enfocaremos en unitales y en ver donde pueden ser hallados.

Unitales son estructuras combinatóricas que a veces pueden ser encontradas como una sub-estructura de un plano proyectivo. Casi todo lo que se sabe acerca de unitales contenidos en planos proyectivos es para cuando el plano es 'clásico' y, como es de esperar, se sabe muy poco acerca de unitales en planos de Figueroa. De hecho, sólo se conoce un ejemplo de tal unital, llamado unital de Figueroa (de Resmini and Hamilton, 1998). Sorprendentemente, sólo recientemente se probó que este unital no es 'clásico' (Hui and Wong, 2012). 

Algunos resultados parciales acerca de la existencia de otros unitales en planos de Figueroa y algunas nuevas propiedades del unital de Figueroa serán presentados en esta charla.
2018-03-28
14:30hrs.
Arvind Kumar. National Institute of Science Education and Research (Niser), India
Identities Among Eigenforms
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Identities connecting modular forms (in particular, eigenforms) have attracted the attention of many mathematicians since they imply nice identities among their Fourier coefficients. It is quite natural to ask whether the property of being a Hecke eigenform is preserved under multiplication or more generally, under the Rankin-Cohen bilinear operators. In this talk, we will give a brief survey of the existing results in this direction after introducing the necessary background of the subject.

We then consider a subclass of the space of quasimodular forms and nearly holomorphic modular forms for our purpose. In the main result, we classify all the cases when the Rankin-Cohen bracket of two eigenforms results in an eigenform. In the process, we obtain some new polynomial identities among quasimodular eigenforms. We extensively use the Rankin’s method and the non-vanishing properties of modular L-functions on appropriate half-planes.
2018-03-21
14:30hrs.
Álvaro Liendo. Universidad de Talca
Caracterización de Variedades Tóricas Afines Por Su Grupo de Automorfismos
Sala de Seminarios, Dpto de Matemática de la Universidad de Chile. Las Palmeras.
Abstract:
En esta charla demostraremos que las variedades tóricas afines, con la única excepción del toro algebraico, están únicamente determinadas por su grupo de automorfismos visto como ind-grupo. Mas precisamente, sea X una variedad tórica afín distinta del toro algebraico y sea Y una variedad afín normal e irreducible. Si los grupos Aut(X) y Aut(Y) son isomorfos como ind-grupos, entonces X e Y son isomorfas como variedades abstractas. Además, proveemos un contraejemplo a este resultado en el caso del toro algebraico.