Santiago Number Theory and Algebra Seminar (SANTAS)

El Santiago Number Theory and Algebra Seminar (SaNTAS) es un seminario de investigación organizado en conjunto por la Universidad de Santiago de Chile, la Universidad de Chile y la Pontificia Universidad Católica de Chile. Nos reuniremos este semestre los días martes a las 16:30hrs, en la Universidad de Santiago de Chile.
Los expositores serán investigadores invitados que trabajan en temas afines al álgebra y teoría de números, y está orientado a estudiantes de postgrado e investigadores de universidades locales.

Organizadores: David Grimm (Usach), Giancarlo Lucchini (UCh), Natalia García (UC).

2019-04-16
16:30hrs.
Robert Auffarth. Universidad de Chile
Trisecantes de la variedad de Kummer de una variedad Jacobiana
Sala de seminarios (4to piso, lado norte de) Dpto de Matemática y Ciencia de la Computación USACH
Abstract:
La variedad de Kummer de una variedad abeliana es el cociente de la variedad abeliana por el automorfismo que envía un elemento a su inverso. Dada una polarización principal en la variedad abeliana, la variedad de Kummer tiene una inmersión canónica a algún espacio proyectivo. Gracias al trabajo de Fay, Gunning, Welters, Debarre y Krichever, entre otros, se sabe que la variedad de Kummer de una variedad Jacobiana posee una pecularidad: existe una familia 4-dimensional de rectas que intersectan la variedad de Kummer en por lo menos tres puntos, y esta propiedad caracteriza a las Jacobianas dentro de las demás variedades abelianas (principalmente polarizadas indescomponibles). En esta charla daremos un survey de estas ideas, y relacionaremos las rectas trisecantes de una Jacobiana con la aplicación de Gauss de su divisor theta.
2019-04-09
16:30hrs.
Irene Spelta. Università Di Pavia
On special subvarieties of Ag contained in the Torelli locus
Sala de seminarios (4to piso, lado norte de) Dpto de Matemática y Ciencia de la Computación USACH
Abstract:

We will speak about the Coleman-Oort conjecture on totally geodesic subvarieties of Ag, the moduli space of abelian varieties of dimension g. In order to understand the subject, we will summarize properties of Jacobians of curves, abelian varieties and the Torelli morphism.

The examples of totally geodesic subvarieties known so far are obtained as families of Jacobians of Galois coverings of curves f:C→ C'. All of them satisfy a sufficient condition, which we will denote by (∗). We will briefly explain why condition (∗) works and we will explicitly construct and study a particular example.

We will show that condition (∗) gives us a bound on the genus g' of C'. Computer calculations allow us then to say that, up to a certain genus bounded genus g of C, there are only 6 families: all of them describe Galois coverings of elliptic curves. We will quickly illustrate them.

Finally, we study the Prym maps of these families (which we will define accordingly): we will demonstrate that these families are fibered, via their Prym map, in totally geodesic curves.

2019-04-02
16:30hrs.
Mikhail Borovoi. Tel Aviv University, Temporarily Usach
Real models of spherical homogeneous spaces
Sala de seminarios (4to piso, lado norte de) Dpto de Matemática y Ciencia de la Computación USACH
Abstract:
Let $G$ be a connected reductive algebraic group over the field of complex numbers $\mathbb{C}$. Let $Y=G/H$ be a spherical homogeneous space of $G$ (a homogeneous space of special kind). Let $G_0$ be a real model (real form) of $G$, that is, a model of $G$ over the field of real numbers  $\mathbb{R}$. In the talk I will discuss the following question: does there exist a $G_0$-equivariant real model $Y_0$ of $Y$? This is interesting even in the case when $G = G' \times G'$, where $G'$ is a connected semisimple group over $\mathbb{C}$, and $H=G'$ embedded diagonally into $G' \times G'$.
This is a joint work with Giuliano Gagliardi, Tel Aviv - Hannover. No preliminary knowledge of spherical varieties will be assumed.
2019-03-26
16:30hrs.
David Leep. University of Kentucky
Liouville's problem on quaternary quadratic forms
Sala de seminarios (4to piso, lado norte de) Dpto de Matemática y Ciencia de la Computación USACH
Abstract:
In 1856, motivated by Lagrange's theorem that every positive integer is a sum of four integral squares, Liouville tried to find all quadratic forms $x^2 + ay^2 +bz^2 +abw^2$, with $a$, $b$ positive integers, that integrally represent all positive integers.  Of the seven possible candidates that he found, Liouville could resolve the problem for only six of them.  Liouville was unable to decide if $x^2 + 2y^2 +5z^2 +10w^2$ integrally represents all positive integers.  Although L. E. Dickson eventually proved this using advanced techniques, the question has remained whether there is an elementary method that Liouville missed.  This talk will present the background to this problem, including results by Lagrange that foreshadowed more advanced results from the late 19th century.  Time permitting, I will also give some details about an elementary proof that shows $x^2 + 2y^2 +5z^2 +10w^2$ integrally represents all positive integers. 
2019-03-19
16:30hrs.
José Ignacio Burgos Gil. Instituto de Ciencias Matemáticas, Madrid
Height pairing between arithmetic cycles
Sala de seminarios (4to piso, lado norte de) Dpto de Matemática y Ciencia de la Computación USACH
Abstract:
The linking number between two circles is the number of windings of one circle around the other. This is a topological invariant and is a first example of a secondary characteristic class. Analogues of the linking number can be defined in many situations. For instance the height pairing between algebraic cycles is a generalization of the cross ratio between four points in the projective line and can be seen as a "linking number" that has a very nice Hodge theoretical interpretation. 
Higher Chow groups have been introduced by Bloch as a concrete way to represent motivic cohomology. In this talk I will explain how to define a height pairing between higher cycles. This is joint work with S. Goswami and G. Pearlstein.
2019-03-12
16:30hrs.
Sebastián Herrero. Instituto de Matemáticas, Pucv
Equidistribución p-ádica de puntos enteros en hipersuperficies cuadráticas
Sala de seminarios (4to piso, lado norte de) Dpto de Matemática y Ciencia de la Computación USACH
Abstract:
En la primera parte de esta charla repasaremos resultados de Pommerenke, Linnik, Duke y Schulze-Pillot, entre otros, sobre la equidistribución de puntos enteros en hipersuperficies cuadráticas en espacios euclideanos. 
En la segunda parte presentaremos resultados análogos en el mundo p-ádico, cuya demostración hace uso de la teoría de formas modulares y cotas para sus coeficientes de Fourier.
Los resultados que serán presentados forman parte de un proyecto en colaboración con R. Menares y J. Rivera-Letelier.
2019-03-05
16:30hrs.
Stefan Gille. University of Alberta
Residue maps for hermitian forms of central simple algebras
Sala de seminarios (4to piso, lado norte de) Dpto de Matemática y Ciencia de la Computación USACH
Abstract:
Residue maps for quadratic forms over fields of characteristic not 2 are well known and a useful tool to study these objects. One can construct these maps also using derived Witt groups, and this approach can be generalized to hermitian Witt groups of central simple algebras with involutions. In case of involutions of the first can there is also a direct definition possible, and one can prove an analog of Springer's exact sequence. The latter holds for certain more general involutions as well.
2019-01-25
14:30hrs.
Diego Izquierdo. Mpim Bonn
Dimensión de los cuerpos, K-teoría y aritmética de los espacios homogéneos
Sala 2
Abstract:
En 1986, Kato y Kuzumaki hicieron varias conjecturas con las que esperaban dar una caracterización diofántica de la dimensión cohomológica de los cuerpos en términos de K-teoría de Milnor y de puntos racionales sobre hipersuperficies proyectivas de pequeño grado. Hoy en día, sabemos que estas conjecturas son falsas en general. En esta charla, veremos que si uno sustituye las hipersuperficies proyectivas de pequeño grado por los espacios homogéneos, la conjectura de Kato y Kuzumaki se vuelve cierta. Se trata de un trabajo en colaboración con Giancarlo Lucchini Arteche.
2019-01-04
14:30hrs.
Yuri Bilu. Université de Bordeaux
Singular units do not exist
Sala 2
Abstract:
In the first part, I will revise the classical theory of complex multiplication of elliptic curves (or C-lattices); in particular, I will define the notion of a singular modulus, the j-invariant of an elliptic curve (or a C-lattice) with complex multiplication.  According to the old result of Weber, a singular modulus is an algebraic integer. In the second part, I will briefly describe the recent work of Habegger, Kühne and myself proving that a singular modulus cannot be algebraic unit.
2018-12-03
14:00hrs.
Winfried Kohnen. Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg
On the Ramanujan-Petersson conjecture for modular forms of half-integral weight
Sala 2
Abstract:
We will discuss several aspects of a 'Ramanujan-Petersson conjecture' for the growth of the Fourier coefficients of a cusp form of half-integral weight.
2018-11-26
14:00hrs.
David Leep. University of Kentucky
Homogeneous forms over p-adic fields
Sala 2
Abstract:

A conjecture due to E. Artin stated that a system of $r$ homogeneous forms having degrees $d_1, d_2,\ldots, d_r$ in $n$ variables defined over a $p$-adic field $K$ should have a nontrivial common zero defined over $K$ as long as $n > d_1^2 + \ldots + d_r^2$.

Although this conjecture turned out to be false in general, the conjecture also turned out to be true in many cases. The determination of exactly when the conjecture is true and when it is false has become a fascinating and important question in number theory, as the question is directly related to questions of finding rational points on varieties.

This talk will focus on the motivation for Artin's conjecture, cases when the conjecture is true, some counterexamples, and some words on the techniques involved.

2018-11-19
14:00hrs.
Pedro Mendoza. Pontificia Universidad Católica de Chile
Progresiones aritméticas de puntos enteros en curvas elípticas congruentes de rango mayor que 1
Sala 2
Abstract:
Una x-progresión aritmética en una curva elíptica es un conjunto de puntos racionales tales que sus coordenadas x estén en progresión aritmética. Es natural preguntarse que tan larga puede ser una x-progresión. Hay diversos resultados que responden parcialmente a esta pregunta. Entre ellos, un resultado de Bremner, Silverman, y Tzanakis dice que no hay x-progresiones aritméticas no triviales de puntos enteros en curvas elípticas congruentes de rango 1. En esta charla se hará un breve repaso por los resultados que se conocen hasta el momento, y se mostrará un nuevo resultado de este tipo para curvas elípticas congruentes.
2018-11-05
14:00hrs.
Gabriel Ramírez. Pontificia Universidad Católica de Chile
Cotas inferiores para reguladores de cuerpos de números
Sala 2
Abstract:
El objetivo de esta charla es explicar un método que permite encontrar buenas cotas inferiores para reguladores de cuerpos de números. 
Para ello expondremos una desigualdad geométrica y una analítica que serán las principales herramientas de este procedimiento. Como una aplicación directa explicaremos como encontrar el regulador minimal de todos los cuerpos de números con una signatura dada.
Al final de la charla discutiremos las limitaciones y posibles mejoras de esta técnica.
2018-10-29
14:00hrs.
Gonzalo Manzano. Universidad de Santiago de Chile
Sumas de cuadrados en cuerpos de funciones de curvas elípticas e hiperelípticas sobre el cuerpo de series formales reales
Sala 2
Abstract:
¿Es cada elemento positivo una suma de dos cuadrados en un cuerpo de funciones de una curva sobre el cuerpo de los números reales? Witt (1934) demostró, de forma analítica, que la respuesta a esta pregunta es afirmativa, y por demostraciones algebraicas que siguieron después, el resultado fue generalizado a curvas sobre una clase más amplia de cuerpos formalmente reales, llamados cuerpos hereditariamente euclideos. 

En el caso de curvas de género cero, se pudo extender el resultado incluso a una clase de cuerpos mas amplia aún, llamados cuerpos hereditariamente pitagóricos, ademas se demostró que el resultado de Witt no se cumple en curvas de género cero sobre cualquier cuerpo formalmente real que no es hereditariamente pitagórico. Un ejemplo típico de un cuerpo hereditariamente pitagórico que no es euclideo es el cuerpo de series formales reales. Una pregunta natural a esto entonces era; ¿podemos extender el resultado de Witt a curvas de cualquier género sobre un cuerpo hereditariamente pitagórico?

Presentaremos un ejemplo (encontrado por Tikhonov) de un cuerpo de funciones de una curva elíptica sobre el cuerpo de series reales donde existe un elemento totalmente positivo  que es una suma de tres cuadrados pero no es una suma de dos cuadrados. En general, se sabe que cada elemento totalmente positivo es una suma de 3 cuadrados, y que la mayoría son de hecho sumas de 2 cuadrados en el siguiente sentido:

El índice N del grupo multiplicativo de sumas de dos cuadrados en el grupo de elementos totalmente positivos es finito. Se sabe que este índice N es acotado por una cota que depende solamente del género de la curva, pero no se sabe si estas cotas efectivamente son óptimas (y probablemente no las son). En el caso de curvas de género 1 se sabe que el índice N es acotado por 4 y en curvas elípticas es acotado por 2 (esto se puede determinar a partir de su geometría) por lo que en el caso de la curva elíptica encontrada por Tikhonov, el índice es exactamente 2. En la charla, mostraré un ejemplo concreto de una curva real de género 1 donde se cumple N=4, así demostraré la optimalidad de la cota.

En el caso de curvas hiperelípticas de género g, sabemos que el índice N es acotado por $2^{g+1}$. Mostraré ejemplos de curvas hiperelípticas para cada género g donde el índice es optimal $N=2^{g+1}$. Finalmente discutiré las siguientes preguntas:

¿Es $2^{g+1}$ la cota para el índice N de curvas de cualquier género g, no necesariamente hiperelípticas?

¿Podemos determinar efectivamente el índice N de una curva concreta a partir de su geometría (aritmética)?
2018-10-08
14:00hrs.
Maximiliano Leyton. Universidad de Talca
Resoluciones simultáneas de singularidades, deformaciones y espacios de m-jets
Sala 2
Abstract:
Una variedad algebraica afín es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinomiales, y es uno de los objetos de principal interés en la geometría algebraica. El estudio de su lugar singular es uno de los temas fundamentales del área. Para estudiarlo se utilizan diferentes técnicas, por ejemplo: creación de invariantes combinatorios (topológicos, analíticos, algebraicos, etc..), resolución de singularidades, deformaciones de la estructura algebraica, espacios de m-jets, etc..

En el caso de singularidades aisladas de hipersuperficies complejas de dimensión n, uno de los invariantes combinatorios más importante es el número de Milnor (El rango del n-ésimo grupo de homología de la fibra de Milnor). Si consideramos una deformación de la hipersuperficie que preserva el número de Milnor, es natural hacer las siguientes preguntas: ¿el tipo topológico de la deformación se mantiene constante? ¿existe resolución simultánea (incrustada)? ¿se induce una deformación de los espacios de m-jets? etc..
 
En esta charla introduciremos los conceptos básicos y resultados conocidos al respecto. Al final de la charla trataremos algunos resultados recientes obtenidos en colaboración con Mark Spivakovsky (Universidad de Tolouse) y Hussein Mourtada (Universidad Paris Diderot).
2018-09-24
14:00hrs.
Yves Martin. Universidad de Chile
Sobre coeficientes de Fourier que determinan formas de Siegel de grado 2
Sala 2
Abstract:
Los coeficientes de Fourier de una forma cuspidal de Siegel de grado 2 están indexados por el conjunto J de matrices simétricas, semi-enteras, definidas positivas. La colección completa determina la forma de Siegel univocamente, sin embargo no es necesario conocerlos todos para determinar completamente la forma cuspidal. En 1981 Zagier mostró que bastaba conocer los coeficientes indexados por las matrices primitivas en J. y Saha, en 2013, mostró que los coeficientes indexados por matrices con determinante igual a un discriminante fundamental impar eran suficiente. 
 
En esta charla veremos que los coeficientes indexados por matrices diagonales con determinante igual a un discriminante fundamental par son suficientes. La discusión incluirá una introducción sencilla a los elementos de la teoría de formas de Siegel que se necesiten.
2018-09-10
14:00hrs.
Sebastián Rahausen. Universidad de Chile
Inmersiones de Galois de variedades proyectivas
Sala 2
Abstract:
En 2007 Hisao Yoshihara introdujo una noción notable para el estudio de variedades proyectivas y sus cuerpos de funciones la cual es llamada inmersión de Galois.
En esta charla introduciremos las nociones y resultados básicos sobre las inmersiones de Galois. Plantearemos algunos problemas que surgen naturalmente y veremos su aplicación al estudio de ciertas variedades.
2018-09-03
14:00hrs.
Xavier Vidaux. Universidad de Concepción
Conexión entre un resultado de Uchida y uno de Lüneburg con respecto a la monogeneidad de campos de números
Sala 2
Abstract:
En 1878, Dedekind dio un criterio para decidir si un primo divide al índice de un orden en un orden maximal. En esta charla, discutiremos la conexión entre dicho criterio, un criterio de Uchida, y un criterio de Lüneburg. 
Es un trabajo en conjunto con Carlos R. Videla. 
2018-08-27
14:00hrs.
Damaris Schindler. Utrecht University
Diophantine inequalities for ternary diagonal forms
Sala 2
Abstract:
We discuss small solutions to ternary diagonal inequalities of any degree where all of the variables are assumed to be of size P. We study this problem on average over a one-parameter family of forms and discuss a generalization of work of Bourgain on generic ternary diagonal quadratic forms to higher degree. In particular we discuss how these Diophantine inequalities are related to counting rational points close to varieties.
2018-08-20
14:00hrs.
Anita Rojas. Universidad de Chile
Acciones de grupo en Superficies de Riemann y Variedades abelianas
Sala 2
Abstract:
Comenzaremos definiendo rápidamente los objetos de estudio: Superficies de Riemann y Variedades Abelianas. Luego estudiaremos algunas consecuencias de considerar grupos actuando en ellas. En particular estudiaremos la llamada descomposición según el álgebra de grupo de una variedad abeliana con acción, y la aún-no-del-todo-clara relación con la clase topológica de la acción. Mencionaremos algunas preguntas abiertas al respecto.
 
En una segunda parte, estudiaremos descomposiciones que no descansan en las simetrías de la variedad, lo que permite ir más allá de la descomposición según el álgebra de grupo y es quizás una forma de atacar algunos de los problemas abiertos que mencionaremos antes.