Seminario de Geometría Algebraica

Seminario de Geometría Algebraica
2021-10-12
14:00hrs.
Giancarlo Urzúa. UC Chile
Superficies con número de Picard maximal
https://reuna.zoom.us/s/88100723766
Abstract:
Resumen: En esta charla se discutirán propiedades y ejemplos de variedades cuyo número de Picard es el máximo posible (i.e., está dado por h^{1,1}). Esta condición impone bastantes restricciones geométricas a la variedad en cuestión, y es un problema el construir ejemplos explícitos en dimension 2. Observaremos además cómo aparecen las superficies de Todorov en este contexto.

Referencia: https://math.unice.fr/~beauvill/pubs/Picmax.pdf

http://www.mat.uc.cl/~urzua/
2021-10-05
14:00hrs.
Roberto Villaflor. UC Chile
Superficies de Todorov y contraejemplo de Torelli
https://reuna.zoom.us/s/88100723766
Abstract:
  • Resumen: El teorema de Torelli para curvas afirma que dos curvas proyectivas suaves son isomorfas si y sólo si sus Jacobianas son isomorfas como variedades abelianas polarizadas. En dimensiones más grandes, el problema de Torelli busca determinar cuándo una variedad está determinada por cierta estructura de Hodge polarizada. En 1980, Catanese y Todorov obtuvieron independientemente contraejemplos a dicho problema en el caso de superficies de tipo general con invariantes pequeños. En esta charla, se discutirá la construcción de Todorov.
  • Referencia: https://eudml.org/doc/142799 (cf.http://www.numdam.org/item/CM_1980__41_3_401_0.pdf)

http://www.mat.uc.cl/~urzua/
2021-09-28
14:00hrs.
Pedro Montero. Utfsm
Fibrados de Ulrich en superficies de tipo general
https://reuna.zoom.us/s/88100723766
Abstract:

Resumen: En esta charla, revisaremos los resultados conocidos hasta el momento sobre la existencia de fibrados de Ulrich en superficies de tipo general. Más precisamente, discutiremos los trabajos recientes de Gianfranco Casnati y Angelo Felice Lopez en esa dirección.

Referenciahttps://arxiv.org/abs/1809.08565 yhttps://arxiv.org/abs/1812.10195

http://www.mat.uc.cl/~urzua/
2021-09-21
14:00hrs.
Sergio Troncoso. Utfsm
Existencia de fibrados de Ulrich
https://reuna.zoom.us/s/88100723766
Abstract:
En esta charla se dará una introducción a los fibrados de Ulrich, que fueron estudiados originalmente en un contexto de álgebra conmutativa (por Ulrich en los años 80) y que luego se reinterpretaron geométricamente gracias a los trabajos de Beauville y Eisenbud-Schreyer a comienzos de los años 2000. Luego de revisar estos resultados y las propiedades más importantes de los fibrados de Ulrich, discutiremos algunos resultados recientes en el caso de superficies algebraicas.
http://www.mat.uc.cl/~urzua/
2021-09-14
14:00hrs.
Mauricio Bustamante. UC Chile
Clasificación de Esferas Exóticas II
https://reuna.zoom.us/s/88100723766
2021-09-07
14:00hrs.
Mauricio Bustamante. UC Chile
Clasificación de Esferas Exóticas I
https://reuna.zoom.us/j/88100723766
2021-08-31
14:00hrs.
Mauricio Bustamante. UC Chile
Esferas Exóticas en Dimension 7
https://reuna.zoom.us/j/88100723766
2021-08-24
14:00hrs.
Mauricio Bustamante . UC Chile
El teorema de h-cobordismo y la conjetura de Poincare generalizada
https://reuna.zoom.us/j/88100723766
Abstract:

En estas primeras cuatro o cinco sesiones vamos a estudiar un problema basico de la topologa diferencial: ¿cómo caracterizar una esfera? Mas concretamente quisieramos estudiar esta pregunta desde tres puntos de vista que corresponden a tres nociones distintas de isomorsmo en la categora de variedades diferenciables:

1. Caracterizacion por equivalencia homotopica: si una n-variedad diferenciable compacta M tiene los mismos grupos de homologa de la n-esfera Sn, ¿es M homotopicamente equivalente a Sn?

2. Carecterizacion por homeomorsmo: si una n-variedad diferenciable compacta M tiene el mismo tipo de homotopa de la n-esfera Sn, ¿es M homeomorfa a Sn?

3. Caracterizacion por difeomorsmo: si una n-variedad diferenciable M es homemorfa a la n-esfera Sn, ¿es M difeomorfa a Sn?


La respuesta al caso (1) es NO. Poincare fue el primero en exhibir una 3-variedad compacta cuyos grupos de homologa son triviales excepto en grado 0 y 3 pero cuyo grupo fundamental es no-trivial. Sin embargo, lo siguiente s es cierto: toda variedad compacta simplemente conexa y con los mismos grupos de homologa de la n-esfera es homotopicamente equivalente a la n-esfera (probar esto es un ejercicio que les dejo).


La respuesta al caso (2) es SI. Esa es la llamada \conjetura de Poincare" (que ya no es conjetura). Una sesion del seminario la emplearemos en dar un bosquejo de este caso en dimensiones mayores que 5. Veremos que en ese caso es una consecuencia del Teorema de h-cobordismo, el cual vamos a discutir. La respuesta al caso (3) es NO en general1. A las variedades diferenciables homeomorfas pero no difeomorfas a Sn se les apoda esferas exoticas. Milnor fue el primero en descubrir este tipo de variedades y en este seminario vamos a discutir como lo hizo.


Programa tentativo.

Agosto 24. El teorema de h-cobordismo y la conjetura de Poincare generalizada. [Kos93].

Agosto 31 Esferas exoticas en dimension 7. [Mil56].

Septiembre 7. Variedades topologicas de que no admiten estructuras diferenciables (ejemplos de Freedman en dimension 4 y de Kervaire en dimension 10). [Fre82],[Ker60].

Septiembre 14. Introduccion a la teora de ciruga y su aplicacion en la clasicacion de esferas exoticas. [Kos93], [KM63], [Mil61].

Septiembre 21. (Opcional) Otros usos de la teora de ciruga: esta charla es de tipo general y sera principalmente para que conozcamos como se usan estas ideas clasicas en problemas mas recientes.


Referencias

[Fre82] Michael Hartley Freedman. The topology of four-dimensional manifolds. J. Differential Geometry, 17(3):357{453, 1982. 1

[Ker60] Michel A. Kervaire. A manifold which does not admit any dierentiable structure. Comment. Math. Helv., 34:257{270, 1960. 1

1Por ejemplo, en dimensiones menores que 4 la respuesta es s, en dimension 4 no se sabe y en casi todas las otras dimensiones la repuesta es no.

[KM63] M.A. Kervaire and J.W. Milnor. Groups of homotopy spheres. I. Ann. of Math. (2), 77:504{537, 1963. 1

[Kos93] Antoni A. Kosinski. Differential manifolds, volume 138 of Pure and Applied Mathematics. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1993. 1

[Mil56] J. Milnor. On manifolds homeomorphic to the 7-sphere. Ann. of Math. (2), 64:399{405, 1956. 1

[Mil61] John Milnor. A procedure for killing homotopy groups of differentiable manifolds. In Proc. Sympos.

Pure Math., Vol. III, pages 39{55. American Mathematical Society, Providence, R.I, 1961. 1

2021-07-06
14:00hrs.
Roberto Villaflor. UC
Conjetura de Bloch Para Superficies de Catanese y de Barlow
https://reuna.zoom.us/j/88100723766
2021-06-29
14:00hrs.
Iván Rosas. Institut de Mathématiques de Bourgogne
Motivos de Chow y Conjetura de Bloch
https://reuna.zoom.us/j/88100723766
2021-06-22
14:00hrs.
Giancarlo Urzúa. UC Chile
Bloch Para Superficies Con Muchos Automorfismos (Después de Inose, Mizukami, Etc)
https://reuna.zoom.us/j/88100723766
2021-06-15
14:00hrs.
Pedro Montero. Utfsm
Resultados de Mumford, Bloch, Kas, Lieberman en torno a la conjetura de Bloch
https://reuna.zoom.us/j/88100723766
Abstract:
Resultado de no-finitud de Mumford para pg>0 y resultado positivo para el caso de superficies de dimensión de Kodaira menor o igual a uno.
2021-06-08
14:00hrs.
Sergio Troncoso. Utfsm
Generalidades Sobre la Conjetura de Bloch
https://reuna.zoom.us/j/88100723766
2021-06-01
14:00hrs.
Roberto Villaflor. UC Chile
Compactificaciones de Espacios de Moduli y Hodge II
https://reuna.zoom.us/j/88100723766
2021-05-25
14:00hrs.
Roberto Villaflor. UC Chile
Compactificaciones de Espacios de Moduli
https://reuna.zoom.us/j/88100723766
2021-05-18
14:00hrs.
Giancarlo Urzúa. UC Chile
Degeneraciones Permisibles y Moderadas de Kawamata
https://reuna.zoom.us/j/88100723766
2021-05-11
14:00hrs.
Roberto Villaflor. UC Chile
Variaciones de Estructuras de Hodge y Degeneraciones
https://reuna.zoom.us/j/88100723766
2021-05-04
14:00hrs.
Roberto Villaflor. UC Chile
Más Ejemplos, Teorema de Griffiths, Etc
https://reuna.zoom.us/j/88100723766
2021-04-27
14:00hrs.
Pedro Montero. Utfsm
Estructuras de Hodge Mixtas en Geometría
https://reuna.zoom.us/j/88100723766
2021-04-20
14:00hrs.
Roberto Villaflor. UC Chile
Introducción a estructuras de Hodge mixtas: Conceptos básicos, motivación, teoremas fundamentales
https://reuna.zoom.us/j/88100723766
Abstract:
Serie de charlas sobre estructuras mixtas de Hodge. Para las dos primeras, estas son las notas http://w3.impa.br/~rvilla/pdf/teach/AulasIMPA/Intro_MHS.pdf.