Seminario de Geometría Algebraica

Seminario de Geometría Algebraica
2018-11-22
15:30hrs.
Héctor Pastén. PUC Chile
Cotas para el GCD
sala 2
Abstract:
En 2003, Bugeaud, Corvaja y Zannier utilizaron el teorema del subespacio para dar cotas para el GCD de dos números de la forma a^n - 1. En esta charla vamos a explicar la demostración y el contexto de este teorema. 
2018-11-15
15:30hrs.
Giancarlo Urzúa. PUC Chile
Ejemplos y Problemas Sobre Puntos Enteros en Superficies
sala 2
2018-11-08
15:30hrs.
Giancarlo Urzúa. PUC Chile
Puntos Enteros en Superficies II
sala 2
2018-10-25
15:30hrs.
Giancarlo Urzúa. PUC Chile
Puntos Enteros en Superficies
sala 2
2018-10-18
15:30hrs.
Fernando Figueroa. PUC Chile
Introducción al Método de Corvaja-Zannier
sala 2
2018-10-11
15:30hrs.
Hector Pasten. PUC Chile
El teorema del subespacio
sala 2
Abstract:
Los teoremas de Liouville, Thue y Roth que hemos estudiado en este seminario corresponden a la teoría de aproximaciones racionales en dimensión 1. Una generalización a dimensión arbitraria es dada por el teorema del subespacio demostrado por Schmidt en 1972. En esta charla explicaremos este resultado y discutiremos algunas primeras aplicaciones. Usaremos esta oportunidad para presentar las funciones de proximidad.
2018-10-04
15:30hrs.
Ricardo Menares. PUC Chile
Teorema de Siegel II
sala 2
2018-10-03
14:00hrs.
Jorge V. Pereira. Impa
webs and abelian relations III
sala 2
Abstract:
Lecture #3. Webs associated to hyperplane arrangements. 
2018-10-02
14:00hrs.
Jorge V. Pereira. Impa
Webs and abelian relations II
sala 2
Abstract:
Lecture #2. Abelian relations of webs with infinitesimal automorphisms. Trépreau's algebraization Theorem. 
2018-10-01
14:00hrs.
Jorge V. Pereira. Impa
Webs and abelian relations I
Sala 2
Abstract:
Web geometry studies the superposition of foliations. A key concept on the subject is the one of abelian relation. It consists of finite collections of first integrals for the foliations defining the web which satisfy a functional equation of a particularly simple form. The set of abelian relations of a given web forms a finite dimensional vector space. S.-S. Chern proved in his Phd thesis (generalizing previous results by G. Bol) that for smooth d-webs on  n-dimensional manifolds the dimension of the space of abelian relations is bounded by the Castelnuovo number (which gives the bound for the genus of non-degenerate degree d curves on n-dimensional projective spaces).
 
Webs with space of abelian relations having the maximal possible dimension(i.e. webs of maximal rank), have a rich structure. In dimension three and higher, results by Bol, Chern-Griffiths, and Trépreau guarantee that they are all defined by curves of maximal genus through projective duality. The situation in dimension two is considerably richer, and a complete picture is not available yet. It is perhaps worth mentioning, that the first example of a web of maximal rank on the plane not associated to a projective curves has among its abelian relations, Abel's equation for the dilog. 
 
In this series of lectures, I will review some of the theory of abelian relations of codimension one webs. Although the theory is local in nature, all the known relevant examples are global. Thus I will also discuss 
global properties of webs on projective surfaces.

Lecture #1. Webs and abelian relations. Chern's bound. Algebraizable webs. Projective duality.
2018-09-20
15:30hrs.
Ricardo Menares. PUC Chile
Teorema de Siegel
sala 2
2018-09-06
15:30hrs.
Natalia García. PUC Chile
Teorema de Mordell-Weil
sala 2
2018-08-30
15:30hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Alturas
Sala 2
2018-08-23
15:30hrs.
Daniel Gajardo. PUC Chile
Teorema de Thue
sala 2
2018-08-16
15:30hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Introducción a la aproximación diofantina
Sala 2
Abstract:
En palabras simples, la aproximación diofantina estudia aproximaciones racionales de números irracionales. Se trata de un tema clásico en matemáticas, con registros que datan al menos del siglo XVII a.C. En esta charla presentaré algunos conceptos y resultados básicos, y explicaré la relevancia de la aproximación diofantina en el contexto de la geometría aritmética.

Esta charla servirá de introducción al tema que trataremos en el seminario durante el resto del semestre.
2018-08-09
15:30hrs.
Pedro Montero. Chinese Academy of Sciences, Beijing
Compactificaciones equivariantes del grupo vectorial en variedades de Fano lisas
sala 2
Abstract:

Gracias a los trabajos recientes de Caucher Birkar sabemos que existe un número finito de familias de variedades de Fano (no muy singulares) en toda dimensión. Sin embargo, incluso para el caso de variedades lisas, no existe una clasificación completa en dimensión mayor o igual a 4. Es por ello que es natural imponer condiciones geométricas a dichas variedades para intentar clasificarlas. En esta charla, estudiaremos la geometría de variedades de Fano que son obtenidas como compactificaciones del grupo vectorial.

Históricamente, Hassett y Tschinkel iniciaron el estudio de la geometría de dichas variedades, las cuales satisfacen muy buenas propiedades aritméticas como el principio de Batyrev-Manin (que concierne la distribución asintótica de puntos racionales). Luego de enunciar algunas propiedades generales y ejemplos, discutiremos cómo los trabajos de Hassett y Tschinkel, Kishimoto, Arzhantsev et al. se combinan junto con la clasificación de Fujita, Mori y Mukai permitiendo obtener una completa clasificación de "variedades de Fano aditivas" cuando la dimensión es 3 (trabajo en conjunto con Zhizhong Huang) y cuando el índice de Fano es elevado (trabajo en conjunto con Baohua Fu).

2018-06-26
13:30 a 16:00hrs.
Ricardo Menares. PUC Chile
Alturas y Teorema de Ullmo
sala 2
2018-06-19
14:00hrs.
Ricardo Menares. PUC Chile
Fibrados Metrizados Aritméticos
sala 2
2018-06-12
14:00hrs.
Natalia García. PUC Chile
Semiestabilidad, Modelo Minimal Regular
sala 2
2018-06-05
14:00hrs.
Eduardo Oregón. PUC Chile
Fibrados Metrizados Compejos
sala 2