Seminario de Geometría Algebraica

Seminario de Geometría Algebraica
2019-04-25
14:00hrs.
Fernando Figueroa. PUC Chile
Calculos: " Singularidades Acotables "
sala 1
2019-04-23
14:00hrs.
Diana Torres. PUC Chile
Mmp Necesita Singularidades
sala 1
2019-04-16
14:00hrs.
Nicolás Vilches. PUC Chile
Singularidades Ade / Du Val / Canónicas
sala 1
2019-04-11
14:00hrs.
Diana Torres. PUC Chile
Calculos: " la Superficie Detrás de Una Suma de Dedekind "
sala 1
2019-04-09
14:00hrs.
Fernando Figueroa. PUC Chile
Log Mmp Para Superficies
sala 1
2019-04-04
14:00hrs.
Diana Torres . PUC Chile
Calculos: " Sumas de Dedekind y Fraciones Continuas "
sala 1
2019-04-02
14:00hrs.
Pedro Montero. Utfsm
Mmp en Superficies Nosingulares
sala 1
2019-03-26
14:00hrs.
Pedro Montero. Utfsm
Introducción al Minimal Model Program y acotamiento
sala 1
Abstract:
Uno de los objetivos de la geometría algebraica es la clasificación de variedades proyectivas. En dimension 1, existe una clara distinción entre los tipos de curvas de género 0, 1 y mayor o igual a 2, tanto de un punto de vista topológico (revestimiento universal), de la curvatura y, más algebraicamente, de acuerdo a la negatividad, trivialidad o positividad de su clase canónica. En esta charla, discutiremos sobre cómo el Minimal Model Program (MMP) permite conjeturalmente asociar a toda variedad algebraica un "modelo minimal" y reducir el problema de clasificación a estudiar tres grandes familias: variedades de Fano (canónico negativo), Calabi-Yau (canónico trivial) y canónicamente polarizadas (canónico positivo). En este marco, la existencia de una cantidad finita de familias (acotamiento) es crucial para poder esperar obtener clasificaciones explícitas, y unos de los primeros grandes pasos en esta dirección son los resultados de acotamiento de variedades de Fano y canónicamente polarizadas obtenidos por Alexeev en el caso de superficies (medianamente singulares). Dichos resultados han sido generalizados recientemente a dimensiones superiores por Birkar en el caso de variedades de Fano (gracias a lo cual ha obtenido la medalla Fields) y por Hacon-McKernan-Xu en el caso canónicamente polarizado. El objetivo de este seminario será entender el lenguaje y técnicas del MMP en el caso de superficies singulares así como el rol de la "teoría de complementos", introducida por Shokurov y utilizada por Birkar para extender los resultados de Alexeev.
 
El plan preliminar de las charlas podría ser entonces el siguiente (también, modificar a gusto):
1. Introducción al Minimal Model Program y acotamiento (Pedro)
2. MMP para superficies suaves (Pedro)
3. Log MMP para superficies.
4. Singularidades ADE
5. Propiedades de pares logarítmicos
6. Clasificación de pares log canónicos en dimensión 2
7. Adjunción y Lema de Conectividad
2018-11-22
15:30hrs.
Héctor Pastén. PUC Chile
Cotas para el GCD
sala 2
Abstract:
En 2003, Bugeaud, Corvaja y Zannier utilizaron el teorema del subespacio para dar cotas para el GCD de dos números de la forma a^n - 1. En esta charla vamos a explicar la demostración y el contexto de este teorema. 
2018-11-15
15:30hrs.
Giancarlo Urzúa. PUC Chile
Ejemplos y Problemas Sobre Puntos Enteros en Superficies
sala 2
2018-11-08
15:30hrs.
Giancarlo Urzúa. PUC Chile
Puntos Enteros en Superficies II
sala 2
2018-10-25
15:30hrs.
Giancarlo Urzúa. PUC Chile
Puntos Enteros en Superficies
sala 2
2018-10-18
15:30hrs.
Fernando Figueroa. PUC Chile
Introducción al Método de Corvaja-Zannier
sala 2
2018-10-11
15:30hrs.
Hector Pasten. PUC Chile
El teorema del subespacio
sala 2
Abstract:
Los teoremas de Liouville, Thue y Roth que hemos estudiado en este seminario corresponden a la teoría de aproximaciones racionales en dimensión 1. Una generalización a dimensión arbitraria es dada por el teorema del subespacio demostrado por Schmidt en 1972. En esta charla explicaremos este resultado y discutiremos algunas primeras aplicaciones. Usaremos esta oportunidad para presentar las funciones de proximidad.
2018-10-04
15:30hrs.
Ricardo Menares. PUC Chile
Teorema de Siegel II
sala 2
2018-10-03
14:00hrs.
Jorge V. Pereira. Impa
webs and abelian relations III
sala 2
Abstract:
Lecture #3. Webs associated to hyperplane arrangements. 
2018-10-02
14:00hrs.
Jorge V. Pereira. Impa
Webs and abelian relations II
sala 2
Abstract:
Lecture #2. Abelian relations of webs with infinitesimal automorphisms. Trépreau's algebraization Theorem. 
2018-10-01
14:00hrs.
Jorge V. Pereira. Impa
Webs and abelian relations I
Sala 2
Abstract:
Web geometry studies the superposition of foliations. A key concept on the subject is the one of abelian relation. It consists of finite collections of first integrals for the foliations defining the web which satisfy a functional equation of a particularly simple form. The set of abelian relations of a given web forms a finite dimensional vector space. S.-S. Chern proved in his Phd thesis (generalizing previous results by G. Bol) that for smooth d-webs on  n-dimensional manifolds the dimension of the space of abelian relations is bounded by the Castelnuovo number (which gives the bound for the genus of non-degenerate degree d curves on n-dimensional projective spaces).
 
Webs with space of abelian relations having the maximal possible dimension(i.e. webs of maximal rank), have a rich structure. In dimension three and higher, results by Bol, Chern-Griffiths, and Trépreau guarantee that they are all defined by curves of maximal genus through projective duality. The situation in dimension two is considerably richer, and a complete picture is not available yet. It is perhaps worth mentioning, that the first example of a web of maximal rank on the plane not associated to a projective curves has among its abelian relations, Abel's equation for the dilog. 
 
In this series of lectures, I will review some of the theory of abelian relations of codimension one webs. Although the theory is local in nature, all the known relevant examples are global. Thus I will also discuss 
global properties of webs on projective surfaces.

Lecture #1. Webs and abelian relations. Chern's bound. Algebraizable webs. Projective duality.
2018-09-20
15:30hrs.
Ricardo Menares. PUC Chile
Teorema de Siegel
sala 2
2018-09-06
15:30hrs.
Natalia García. PUC Chile
Teorema de Mordell-Weil
sala 2