Seminario de Teoría de Números

El Seminario de Teoría de Números en la UC está dirigido a estudiantes de pregrado y postgrado que estén interesados en el área. El objetivo será presentar variados temas dentro de la teoría de números de una manera autocontenida, para así mostrar a los estudiantes los temas que actualmente son de interés para los teoristas de números. Los expositores serán voluntarios dentro de los participantes del seminario.


2018-05-25
14:00hrs.
Natalia García. Pontificia Universidad Católica de Chile
Curvas Elípticas e Isogenias
Sala 2
Abstract:
La primera parte de esta charla será un resumen de la teoría de curvas elípticas donde las definiremos, hablaremos de su estructura de grupo, y de su estructura compleja. En la segunda parte, estudiaremos isogenias de curvas elípticas, que son funciones entre curvas elípticas con algunas propiedades. Las definiremos y veremos algunos teoremas que nos ayudarán a clasificar estas funciones.
A futuro (no este viernes), veremos como se relacionan las isogenias de curvas elípticas con las curvas modulares, y también con representaciones de Galois.
2018-05-18
14:00hrs.
Fernando Figueroa. Pontificia Universidad Católica de Chile
El Teorema de Minkowski
Sala 2
Abstract:
En esta charla vamos a partir viendo nociones y propiedades de reticulados, para poder enunciar y definir el Teorema de Minkowski; el cual relaciona el volumen de un cuerpo convexo simétrico con la cantidad mínima de puntos de un reticulado que puede tener.
Este teorema fue el inicio del área de teoría de números que se conoce como Geometría de los números.
Terminaremos mostrando algunas aplicaciones.
2018-05-11
14:00hrs.
Oscar Chacón. Pontificia Universidad Católica de Chile
La Hipótesis de Riemann y la Distribución de Números Primos
Sala 2
Abstract:
En 1859, Riemann publicó su único paper sobre teoría de números, "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude". En este, Riemann extiende una función (estudiada anteriormente por Euler en los reales) a una función de variable compleja, ahora conocida como "función zeta de Riemann", probando algunas de sus propiedades. Además, presenta una conjetura que hoy llamamos "hipótesis de Riemann", enlazando la teoría de números y el análisis complejo, y brindando herramientas esenciales para la teoría analítica de números. En esta charla, estudiaremos con más detalle la función zeta de Riemann, y mostraremos la relación de la hipótesis de Riemann con la distribución de los números primos.
2018-05-04
14:30hrs.
Héctor Pastén. Harvard University
Funciones L
Sala 2
Abstract:
(COMENZAMOS A LAS 14:30 POR EL DÍA DE LA FACULTAD)
Las funciones L son el objeto central de gran parte de la teoría de números moderna. Nacidas en los trabajos de Euler, lograron un lugar importante de la mano de Dirichlet y Riemann. Hoy en día, a las funciones L se les culpa de muchas cosas: de ser la encarnación de los Motivos de Grothendieck, de saber los rangos de grupos de Mordell-Weil, de conocer todas las representaciones de Galois, de ser un nexo entre el mundo de las formas automorfas y la geometría aritmética, entre otras varias acusaciones de similar calibre. En esta charla introductoria explicaremos algunos aspectos de la teoría, con énfasis en aplicaciones y problemas abiertos.
2018-04-20
14:00hrs.
Nicolás Vilches. Pontificia Universidad Católica de Chile
Trascendencia y Schneider-Lang
Sala 2
Abstract:
En la presente charla vamos a presentar un teorema debido a Lang (basado en ideas anteriores de Schneider) que relaciona funciones meromorfas que tienen relaciones diferenciales, con la cantidad de valores complejos para los que caen sobre un cuerpo de números. Veremos también cómo puede utilizarse para demostrar trascendencia de números, y probaremos resultados clásicos como que $\pi$, $e$ son trascendentales, y el séptimo problema de Hilbert. 
2018-04-13
14:00hrs.
Pedro Mendoza. Pontificia Universidad Católica de Chile
El Teorema de los Cuatro Cuadrados de Lagrange
Sala 2
Abstract:
En esta charla se presentará la demostración de este teorema clásico de la teoría de números, además de comentar nuevas demostraciones que han ido apareciendo a lo largo del tiempo. Se hablará también sobre algunas generalizaciones de este teorema, en especial sobre el problema de Waring. Además, se hará un breve resumen sobre las conjeturas/problemas abiertos relacionados con el tema.
2018-04-06
14:00hrs.
Ignacio Barros. Humboldt-Universität Zu Berlin
Geometría Birracional de Espacios de Moduli
Sala 2
Abstract:
La charla va a estar enfocada a estudiantes. Veremos ejemplos, un poco de historia y la principales preguntas que guían la investigación hoy en dia. El foco estará en moduli de curvas y superficies K3.
2018-03-23
14:00hrs.
Eduardo Oregón. Pontificia Universidad Católica de Chile
La Conjetura Abc
Sala 2
Abstract:
Este es uno de los problemas abiertos más importantes de la teoría de números (y de la matemática en general), que a grandes rasgos relaciona las estructuras aditiva y multiplicativa de los números enteros. En esta charla, se mostrará cómo esta conjetura implica otros problemas célebres del área, como son el último Teorema de Fermat y la infinitud de los primos de Wieferich. Además, se hará un breve resumen de los resultados que se saben hasta el momento.
http://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2018-03-09
14:00hrs.
Natalia García. Pontificia Universidad Católica de Chile
El Teorema de Van Der Waerden
Sala 2
Abstract:
Comenzaremos este seminario explicando un poco sobre la teoría de Ramsey, de la cual Terence Tao habló cuando visitó la PUC. La teoría de Ramsey es parte de la combinatoria, pero aplicada a teoría de números uno puede obtener resultados sobre que clase de subconjuntos infinitos de números enteros contienen progresiones aritméticas largas. 

En esta charla explicaremos el teorema de van der Waerden, que es uno de los teoremas principales del área, y dice que si uno elige una cantidad finita de colores para pintar los números enteros, entonces existen progresiones aritméticas monocromáticas de cualquier longitud.