Seminario de Teoría de Números

El Seminario de Teoría de Números en la UC está dirigido a estudiantes de pregrado y postgrado que estén interesados en el área. El objetivo será presentar variados temas dentro de la teoría de números de una manera autocontenida, para así mostrar a los estudiantes los temas que actualmente son de interés para los teoristas de números. Los expositores serán voluntarios dentro de los participantes del seminario.


2020-01-10
14:00hrs.
Chao Li. Columbia University
Elliptic curves and Goldfeld's conjecture
Sala 2
Abstract:

An elliptic curve is a plane curve defined by a cubic equation. Determining whether such an equation has infinitely many rational solutions has been a central problem in number theory for centuries, which lead to the celebrated conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer. Within a family of elliptic curves (such as the Mordell curve family $y^2=x^3+d$), a conjecture of Goldfeld further predicts that there should be infinitely many rational solutions exactly half of the time. We will start with a history of this problem, discuss our joint work with D. Kriz towards Goldfeld's conjecture and illustrate the key ideas and ingredients behind these new progresses.

2019-10-18
14:00hrs.
Javier Reyes. Pontificia Universidad Católica de Chile
Puntos racionales en curvas analíticas
Sala 2
Abstract:
Veremos un teorema de Bombieri-Pila para encontrar cotas superiores para la cantidad de puntos racionales de altura acotada en una clase de curvas analíticas y se introducirá el concepto de o-minimalidad que se utiliza en una generalización para dimensiones superiores.
2019-10-11
14:00hrs.
Sebastián Muñoz. Pontificia Universidad Católica de Chile
El teorema de Pólya sobre funciones trascendentes
Sala 2
Abstract:
Un teorema de Pólya afirma que la función entera y trascendente, que toma valores enteros sobre los números naturales, y con el menor crecimiento es $2^{z}$. La idea de esta charla es dar una demostración de este teorema usando las ideas de Waldschmidt.
2019-10-04
14:00hrs.
Tomás Seguel. Pontificia Universidad Católica de Chile
Sobre sistemas de ecuaciones y soluciones módulo p
Sala 2
Abstract:
Se presentará un resultado, el cual permite relacionar la existencia de soluciones complejas para sistemas polinomiales sobre $\mathbb{Z}$, con la existencia de soluciones en $\mathbb{F}_p$ para este mismo. Se finalizará con ejemplos de cómo puede ser utilizado para resolver problemas de la teoría clásica de números, de decidibilidad o de geometría algebraica.
2019-09-27
14:00hrs.
Eliezer Fuentes. Pontificia Universidad Católica de Chile
Acotando sumas de k-potencias
Sala 2
Abstract:
Con el fin de resolver el problema de Waring, Hardy y Littlewood formularon un método que lo resolvía. Se presentará generalmente de lo que consistía el método y cuál es la intuición detrás. La presentación se centrará en el cálculo de los arcos menores y mencionará el cálculo de los arcos mayores. Finalizando con una respuesta al problema de Waring. 
2019-09-06
14:00hrs.
Matías Alvarado. Pontificia Universidad Católica de Chile
Sobre distancias racionales a vértices del n-polígono regular
Sala 2
Abstract:
Con el afán de encontrar soluciones racionales a cierta ecuación diofantina, nos encontramos con un problema geométrico que es equivalente. Dicho problema viene dado por la pregunta ¿Existen puntos en el plano a distancia racional de cada vértice de un cuadrado? 
En esta charla nos enfocaremos en el aspecto geométrico, y daremos una respuesta parcial a la pregunta en el caso del n-polígono regular de lado unitario.
2019-08-30
14:00hrs.
Gabriel Ramírez. Pontificia Universidad Católica de Chile
Defensa de Tesis de Magister: Lower bounds for the regulator
Auditorio N. Bralic
Abstract:
Dado un cuerpo de números $k$, mostraremos algunas cotas inferiores para su regulador $R_k$. Mejoraremos una cota de origen geométrico para cuerpos de números con un solo lugar complejo y otra de origen analítico para cuerpos de números totalmente reales. Nos centramos en estos casos para determinar el cuerpo de números de signatura $(5,1)$ con menor regulador y para resolver una conjetura de sistemas dinámicos. Este trabajo forma parte de mi tesis de magister bajo la supervisión del profesor Eduardo Friedman.
2019-08-23
14:00hrs.
José Esparza. Mit - UC
El Teorema de Riemann-Roch vía Análisis Harmónico
Sala 2
Abstract:
La formula de suma de Poisson en análisis harmónico relaciona el promedio de los valores de una función en una red/látice con su transformación de Fourier. Usando esta formula en el contexto de el grupo de adeles, sorprendentemente, podemos derivar el teorema de Riemann-Roch para curvas proyectivas sobre campos finitos.
2019-08-09
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
El problema de Büchi
Sala 2
Abstract:

Si tomamos cuadrados de enteros consecutivos, sus segundas diferencias dan siempre $2$. Por ejemplo $(25-16)-(16-9)=2$. Hay secuencias de cuadrados no consecutivos con la misma propiedad, como por ejemplo $0, 49, 100$, o la secuencia $36,529, 1024, 1521$. En la década de los 70, Büchi conjeturó que las únicas secuencias de 5 o más cuadrados de enteros con segundas diferencias 2 son las obvias (cuadrados de enteros consecutivos). El problema sigue abierto, pero tiene interesantes conexiones con lógica matemática, geometría algebraica, e incluso la conjetura abc. En esta charla trataremos de entender mejor el problema, y vamos a resolver su análogo para polinomios.

2019-06-21
14:00hrs.
Benjamín Barrios. Pontificia Universidad Católica de Chile
Sobre números felices
Sala 2
Abstract:
Dado un número natural, iteramos el proceso de sumar los cuadrados de sus dígitos. Si este proceso termina en 1, el número original es llamado número feliz, en caso contrario es llamado infeliz (o triste). En este seminario trabajaremos con la definición anterior, pero en una base arbitraria. Además, se mostrarán propiedades sobre estos números. Por último, se analizarán ciertas preguntas: ¿son infinitos?, ¿cuál es la densidad de estos números en los naturales?, entre otras.
2019-06-14
14:00hrs.
Ricardo Menares. Pontificia Universidad Católica de Chile
Sobre la construcción iterativa de polinomios irreductibles
Sala 2
Abstract:
Dado un cuerpo $F$, describir una extensión de grado $n$ es equivalente a dar un polinomio irreductible de grado $n$. En computación interesa el caso en que $F$ es un cuerpo finito y el problema es construir explícitamente polinomios irreductibles con coeficientes en $F$ y de grado arbitrariamente alto.
 
Tradicionalmente lo que se ha hecho es partir con un polinomio irreductible $f$ y aplicar sucesivamente transformaciones que consisten en componerlo con otro polinomio de grado al menos $2$, o bien con cuocientes de polinomios. El juego es identificar transformaciones específicas y condiciones sobre el polinomio inicial que garanticen que las iteraciones sucesivas siguen otorgando polinomios irreductibles.
 
Existen en la literatura algunas transformaciones favoritas, que dan propiedades suplementarias a los polinomios que van saliendo (palíndromos, que generan bases normales, etc). Las transformaciones que existen suelen aparecer en contextos y con motivaciones dispares.
 
De manera un poco sorprendente, resulta que usando conceptos básicos de teoría de Galois y una pizca de geometría, es posible describir un marco unificado que reúne a casi todas las transformaciones que se encuentran en la literatura y producir una plétora de nuevas transformaciones. En esta charla describiré ese marco y señalaré algunas preguntas que se presentan, que pueden ser adecuadas para proyectos de fin de licenciatura o magister. Se trata de un trabajo en colaboración con Alp Bassa.
 
2019-06-07
14:00hrs.
Bruno Andrades. José Victorino Lastarria
Demostración de la incompatibilidad de dos conjeturas relacionadas con primos
Sala 2
Abstract:
En 1923 G. H. Hardy y J. E. Littlewood publican un artículo, que entre otras cosas, daba a conocer dos conjeturas relacionadas con números primos; la primera, la conjetura de las $k$-tuplas la cual es una generalización de la conjetura de los primos gemelos; y la segunda una conjetura que habla acerca de la distribución de los primos, más específicamente, que ningún intervalo de largo $x$ tiene más de $\pi(x)$ primos, donde $\pi$ es la función contadora de primos. Demostraremos en base al trabajo de Ian Richards en 1974 que estas conjeturas son de hecho incompatibles.
2019-05-31
14:00hrs.
Jerson Caro. Pontificia Universidad Católica de Chile
Raíces de la unidad y curvas algebraicas que son grupos
Sala 2
Abstract:
Como hemos visto en anteriores charlas, en un ejemplo explicito como las curvas elípticas, es muy útil que una curva algebraica tenga estructura de grupo. El objetivo principal de esta charla es notar bajo que condiciones los ceros de un polinomio $f(X,Y)$ es un subgrupo de las unidades del anillo $\mathbb{C}^2$ bajo la multiplicación, por ejemplo $f(X,Y)=XY-1$. La teoría de Galois sobre cuerpos ciclotómicos, el teorema del número primo sobre progresiones aritméticas y el principio de unicidad juegan un papel importante en la prueba del teorema principal.
2019-05-24
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Series de Ramanujan-Fourier y los primos gemelos, II.
Sala 2
Abstract:
Luego de recordar los conceptos fundamentales sobre series de Ramanujan Fourier, voy a presentar algunos resultados centrales de la teoría que dejan en evidencia la analogía con la teoría clásica de series de Fourier. Finalmente, mostraremos cómo este diccionario entre aritmética y análisis permite predecir una fórmula precisa de conteo de primos gemelos. 
2019-05-17
14:00hrs.
Camilo Sánchez. Pontificia Universidad Católica de Chile
Series de Ramanujan-Fourier y los primos gemelos
Sala 2
Abstract:
Se presentará el problema de los primos gemelos como motivación para entender las sumas de Ramanujan y sus propiedades, así posteriormente analizar las series de Ramanujan-Fourier, y sus coeficientes.
2019-05-03
14:00hrs.
Nicolás Vilches. Pontificia Universidad Católica de Chile
El Teorema de Hasse para curvas elípticas
Sala 2
Abstract:
En esta charla estudiaremos un teorema debido a Hasse, que da una cota para la cantidad de puntos de una curva elíptica E sobre un cuerpo finito. Partiremos dando una breve introducción al mundo de las curvas elípticas, para luego presentar el teorema y dar ejemplos concretos donde se verifica. Posteriormente, discutiremos algunas herramientas técnicas (como formas bilineales e isogenias) que permitirán dar una prueba completa de este resultado. 
2019-04-12
14:00hrs.
Marcos Morales. Pontificia Universidad Católica de Chile
Puntos de Fekete y diámetro transfinito
Sala 2
Abstract:
En este seminario se dará la definición de lo que son los puntos de Fekete y se explicará lo que es el diámetro transfinito, se usarán herramientas como la desigualdad de Hadamard y la matriz de Vandermonde para calcular los puntos de Fekete y el diametro transfinito del circulo unitario.
2019-04-05
14:00hrs.
Vicente Monreal. Pontificia Universidad Católica de Chile
Criterio de irreductibilidad de Cohn
Sala 2
Abstract:
Se presentará el criterio de Cohn, como resultado del estudio de polinomios en $\mathbb{Z}[x]$, que ejemplifica la profunda relación entre números primos y polinomios irreducibles.
http://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2019-03-29
14:00hrs.
Javier Reyes. Pontificia Universidad Católica de Chile
Teorema de Monsky
Sala 2
Abstract:
Se introducirá el concepto de norma 2-ádica junto con técnicas de coloración para probar que no se puede dividir un cuadrado en una cantidad impar de triángulos de la misma área.
http://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2019-03-22
14:00hrs.
Natalia García. Pontificia Universidad Católica de Chile
Alturas en Teoría de Números
Sala 2
Abstract:
En esta charla vamos a definir algunas funciones de altura, las cuales son esencialmente una manera de medir complejidad aritmética, y constituyen una herramienta fundamental. Veremos también algunas de sus propiedades aplicadas a diversos temas en teoría de números.
http://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html