Análisis Real (MAT2515)

Tareas

Ejercicios

La carita indica los ejercicios que requieren más imaginación o más trabajo.


  1. Si $d$ es métrica en $M$ entonces $d'$ y $d''$ definidas por las fórmulas siguientes también lo son: \[ d'(x,y) := \min\big\{1,d(x,y)\big\} , \qquad d''(x,y) := \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} . \] Además, los espacios métricos $(M,d)$, $(M,d')$, $(M,d'')$ son homeomorfos.
  2. carita Una hormiga camina sobre el piso, el techo, y las paredes de una sala cúbica. ¿Cuál es la métrica más natural para la hormiga?
  3. Si $X$ es un subconjunto de un espacio métrico $M$, definimos: \[ X':= \big\{ x \in M : \forall r>0, \ X \cap B(x,r) \setminus \{x\} \neq \emptyset \big\}. \] Muestre:
    1. $X' = \big\{ x \in M : \forall r>0, \ X \cap B(x,r) \text{ es infinito } \big\}$.
    2. $X \cup X' = \overline{X} = X \cup \partial X$
    3. Existe un conjunto cerrado $X \subset \mathbb{R}$ tal que $(X')' = \{0\}$.
  4. Considere en $\mathbb{R}^2$ la "métrica del peine": \[ d((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := \begin{cases} |y_1-y_2| &\quad\text{si $x_1 = x_2$,}\\ |y_1|+|x_1-x_2| + |y_2| &\quad\text{si $x_1 \neq x_2$.} \end{cases} \] En $\mathbb{R}$ consideramos la métrica usual.
    1. Sean las aplicaciones $p_1 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $p_2 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definidas por $p_1(x,y) := x$, $p_2(x,y) := y$. ¿$p_1$ es continua? ¿$p_2$ es continua?
    2. Sea la aplicación $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ definida por $f(x) := (x,x)$. ¿$f$ es continua?
  5. Considere las letras mayusculas del alfabeto (dibujadas con lápiz infinitamente fino) como subconjuntos de $\mathbb{R}^2$. Repartalas en clases de equivalencia por la relación de homeomorfismo.
  6. carita Dado un espacio métrico $M$, sea $F$ la intersección de sus conjuntos cerrados infinitos. Suponga que $F$ contiene exactamente un punto. Demuestre que $M$ es homeomorfo a $\{1/n : n \in \mathbb{N}\} \cup \{0\}$.

Vea también los ejercicios de la ayudantía en LABMAT.