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This StyleSheet can be used directly by languages such as Chinese, Japanese and Korean which use a logographic writing system and need larger font sizes.
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Also see AdvancedOptions
Sea $p$ un numero primo. Obesrvemos primeramente que si $a$ es un residuo cuadratico modulo $p$, entonces por el pequeno teorema de Fermant, $a^{(p - 1)/2}$ es congruente a $1$ modulo $p$.
Para demostrar la implicacion inversa, usaremos el siguiente lemma.
<<<
''Lema.'' Hay exactamente $(p - 1)/2$ residuos cuadraticos modulo $p$, que son distintos de $0$.
<<<
//Demostracion.// Como para cada entero $x$ el numero $(p-x)^2$ es congruente a $x^2$ modulo $p$, es suficiente demostrar que la function $x \mapsto x^2$ restrica a $\{ 1, \ldots, (p - 1)/2 \}$ es inyectiva modulo $p$. Para demostrar esto ultimo, supongamos que $a$ y $b \in \{ 1, \ldots, (p - 1)/2 \}$ son tales que $a^2 \equiv b^2 \text{ mod } p$. Entonces $(a - b)(a + b) \equiv 0 \text{ mod } p$, y por lo tanto tenemos $a \equiv b \text{ mod } p$ o $a \equiv - b \text{ mod } p$. Como $a, b \in \{ 1, \ldots, (p - 1)/2 \}$, concluimos que $a = b$.

Para completar la demostracion del criterio de Euler, observemos que la ecuacion $x^{(p - 1)/2} - 1 \equiv 0 \text{ mod } p$ tiene exactamente $(p - 1)/2$ soluciones modulo $p$. Como cada residuo cuadratico modulo $p$ distinto de $0$ es una solucion de esta ecuacion, y por el lema hay exactamente $(p - 1)/2$ de ellos, concluimos que las soluciones de la ecuacion $x^{(p - 1)/2} - 1 \equiv 0 \text{ mod } p$ son exactamente los residuos cuadraticos modulo $p$ distintos de $0$.
Definicion de divisor comun, y de maximo comun divisor.
<<<
''Lema.'' Sean $a$ y $b$ enteros tales que $ab \neq 0$.
# $(a, b) = (b, a) = (a, -b)$, y para todo entero $x$ se tiene $(a, b) = (a, b + ax)$.
# El maximo comun divisor es el menor entero positivo $g$ para el cual existen enteros $x$ e $y$ tales que $ax + by = g$.
# El maximo comun divisor de $a$ y $b$ es el unico divisor comun de $a$ y $b$ que es divisible por cada divisor comun de $a$ y $b$.
# Para cada entero positivo $m$ se tiene $(ma, mb) = m(a, b)$.
# Para cada divisor comun positivo $d$ de $a$ y $b$ se tiene,
$$ (a/d, b/d) = (a, b)/d. $$
<<<
//Demostracion de 2//. Sean $q$ y $r$ tales que $a = q g + r$ y $0 \le r < g$. Entonces $r = a - qg = (1 - qx)a + (- qy)b$ es una combinacion lineal entera de $a$ y $b$. Por la minimalidad de $g$, concluimos que $r = 0$, y por lo tanto que $g | a$. Similarmente concluimos que $g | b$, y por lo tanto que $g$ es un divisor comun de $a$ y $b$. Por lo tanto $g \le (a, b)$. Por otro lado, como $g$ es una combinacion lineal entera de $a$ y $b$ concluimos que $(a, b) | g$, y por lo tanto que $(a, b) \le g$. Esto demuestra que $g = (a, b)$.

Diremos que dos enteros positivos $a$ y $b$ son //coprimos//, //primos relativos//, //primos entre si//, o que //no tienen factores en comun//, si $(a, b) = 1$.
<<<
''Proposicion.'' Sean $a$, $b$ enteros positivos relativamente primos. Si $c$ es un entero tal que $a$ divide a $bc$, entonces $a$ divide a $c$.
<<<
//Demostracion.// Como $(ac, bc) = c(a, b) = c$ es suficiente observar que $a$ es un divisor comun de $ac$ y $bc$.

El algoritmo euclidiana para encontrar el maximo comun divisor.
Observemos que $0$ es el unico multiplo de $0$.
Dados enteros $a$ y $b$, decimos que un entero $c$ es un //multiplo comun de $a$ y $b$//, si $c$ es al mismo tiempo un multiplo de $a$ y un multiplo de $b$. Observemos que $|ab|$ es un multiplo comun de $a$ y $b$, asi que cuando $a$ y $b$ son ambos no nulos existe por lo menos un multiplo comun positivo. En este caso el menor multiplo comun positivo sera llamado el //minimo comun multiplo de $a$ y $b$//.
<<<
''Lema.'' El minimo comun multiplo de dos enteros no nulos es el unico multiplo comun que divide a todos los multiplos comunes.
<<<
//Demostracion//. Sean $a$ y $b$ enteros, y sea $m$ un multiplo comun de $a$ y $b$. Sean ademas $q$ y $r$ tales que $m = q [a, b] + r$, y $0 \le r < [a, b]$. Entonces $r = m - q [a, b]$ es un multiplo comun de $a$ y $b$. Por la minimalidad de $[a, b]$ concluimos que $r = 0$, y por lo tanto que $[a, b] | m$.
<<<
''Lema.'' Sean $a$ y $b$ enteros no nulos.
# $[a, b] = [b, a] = [a, -b]$.
# Para cada entero positivo $m$ se tiene $[ma, mb] = m [a, b]$.
# $[a, b](a, b) = |ab|$.
<<<
//Demostracion de la parte 3.// Por la parte 1 nos podemos restringir al caso en que $a$ y $b$ son positivos.
Supongamos primeramente que $(a, b) = 1$, y sea $m$ el entero positivo tal que $[a, b] = am$. Como $b | am = [a, b]$ y por hipotesis $(a, b) = 1$ tenemos que $b | m$, ver [[Proposicion 1.A|1.A Maximo comun divisor]]. Por otro lado tenemos que $am = [a, b] \le ab$, de donde $m \le b$. Concluimos entonces que $m = b$, y que $[a, b] = ab$ como se queria demostrar.
En el caso general definimos $g := (a, b)$ y observamos que $(a/g, b/g) = 1$, asi que $[a/g, b/g] = (a/g)(b/g)$, de donde $[a, b] = g [a/g, b/g] = (ab)/g$.
! 21 de junio
* El examen sera en la sala D101.
! 08 de junio
* La Interrogacion 3 sera en la sala N17.
* La [[Tarea 6]] ya esta definida en [[Tareas]].
! 20 de abril
* Las ultimas dos ayudantias se pueden bajar de [[Ayudantias]]
* La [[Tarea 4]] ya esta definida en [[Tareas]].
* Tendremos los siguientes modificaciones adicionales en la programacion de catedras y ayudantias (ver [[Calendario]]):
** El jueves 27 de mayo tendremos una ayudantia
** De forma excepcional, el @@color(red): lunes@@ 31 de mayo tendremos una catedra de 16:30 a 17:50.
** El jueves 3 de junio tendremos una ayudantia
** El viernes 11 de junio tendremos una catedra
! 15 de abril
Tendremos los siguientes cambios entre catedras y ayudantias (ver [[Calendario]]):
* El martes 04 de mayo tendremos una ayudantia en vez de una catedra, en reemplazo de la catedra de man~ana.
* La catedra del martes 11 de mayo por la ayudantia del viernes 14 de mayo
* La catedra del martes 15 de junio por la ayudantia del viernes 18 de junio
! 14 de abril
* Este viernes tendremos una catedra en vez de una ayudantia
* La [[Tarea 3]] ya esta definida en [[Tareas]]
! 30 de marzo
La Interrogacion 1 sera en la sala N17. A partir del viernes de la proxima semana las ayudantias se realizaran en la sala ~FT103.
! 19 de marzo
La nueva sala del curso es N28.
* [[Ayudantia 7|ayudantia7.pdf]], viernes 7 de mayo
* [[Ayudantia 6|ayudantia6.pdf]], jueves 6 de mayo
* [[Ayudantia 5|ayudantia5.pdf]], viernes 30 de abril
* [[Ayudantia 4|ayudantia4.pdf]], viernes 23 de abril
* [[Ayudantia 3|ayudantia3.pdf]], lunes 11 de abril
* [[Problemas resueltos|problemas_resueltos.pdf]]
* [[Ayudantia 2|ayudantia2.pdf]], viernes 26 de marzo
* [[Ayudantia 1|ayudantia1.pdf]], viernes 19 de marzo
C := Catedra, A := Ayudantia, F := Feriado legal, o declarado sin actividades por la universidad
Los dias en que tenemos interrogacion estan marcados con @@fondo amarillo@@.
| | ! Dia |>|>|>|
| ! Semana | M | J | V |
| 08 Mar. | C | F | F |
| 15 Mar. | C | C | A |
| 22 Mar. | C | C | A |
| 29 Mar. | C | F | F |
| 05 Abr. | @@C@@ | C | A |
| 12 Abr. | C | C | C |
| 19 Abr. | C | C | A |
| 26 Abr. | C | C | A |
| 03 May. | C | A | A |
| 10 May. | @@A@@ | C | C |
| 17 May. | C | C | F |
| 24 May. | C | A | A |
|  @@color(red): 31 May.*@@ | C | A | A |
| 07 Jun. | C | C | F |
| 14 Jun. | @@A@@ | C | C |
| 21 Jun. | C | - | - |

@@color(red):* El lunes de esta semana tendremos una catedra de 16:30 a 17:20@@
* Profesor: Juan Rivera Letelier, riveraletelier@mat.puc.cl
* Ayudante: Javier Acosta, jlacosta@uc.cl
[[Inicial]]
[[Anuncios]]
* Demostracion simple del teorema de los numeros primos, usando integrales de Cauchy: [[original de Newman|http://dx.doi.org/10.2307%2F2321853]], y la [[version de|http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Chauvenet/Zagier.pdf]] [[Don Zagier|http://en.wikipedia.org/wiki/Don_Zagier]].
* [[Great Internet Mersenne Prime Search|http://www.mersenne.org/]]
* [[Conjetura de|http://en.wikipedia.org/wiki/Artin%27s_conjecture_on_primitive_roots]] [[Artin|http://en.wikipedia.org/wiki/Emil_Artin]] sobre raices primitivas
* [[Ley de reciprocidad de Artin|http://en.wikipedia.org/wiki/Artin_reciprocity]]
* Sobre la [[prioridad de la demostracion elemental del teorema de los numeros primos|http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ErdosSelbergDispute.pdf]]
* [[Criba de|http://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes]] [[Eratostenes|http://en.wikipedia.org/wiki/Eratosthenes]] [[en YouTube|http://www.youtube.com/watch?v=9m2cdWorIq8]]
* Las notas finales fueron: 6.1, 5.2, 4.9, 4.8, 4.5
* [[Examen]], jueves 1 de julio. Las notas obtenidas fueron: 5.3, 5.2, 4.0, 3.8
* [[Interrogacion 3]], martes 15 de junio. Las notas fueron: 6.5, 5.0, 4.0, 4.0, 4.0
* [[Interrogacion 2]], martes 11 de mayo. [[Pauta de correccion|pautaI2.pdf]]. Las notas fueron: 7.0, 6.5, 6.0, 5.8, 5.7.
* [[Interrogacion 1]], martes 06 de abril. [[Pauta de correccion|pautaI1.pdf]]. Las notas fueron: 5.3, 4.7, 3.7, 3.7, 3.5, 3.2, 2.8.
''Duracion: 3 horas''
''ESCOGER 3 PROBLEMAS''
! Problema 1
Sea $(F_n)_{n  = 0}^{\infty}$ la sucesion de Fibonacci definida inductivamente por $F_0 = 0$, $F_1 = 1$ y para $n \ge 2$ por $F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}$. Demuestre las siguientes propiedades.
# Para todo par de enteros $n \ge 0$ y $m \ge 1$ se tiene $F_{n + m} = F_{n + 1} F_m + F_n F_{m - 1}$.
# Si $n$ y $k$ son enteros tales que $n | k$, entonces $F_n | F_k$.
! Problema 2
Dado un numero entero $n$, demuestre que cada numero primo $p$ que divide a $n^4 + 1$ es congruente a $1$ modulo $8$.
! Problema 3
Usando el hecho que existe una constante $C_0 > 1$ tal que para todo numero real $x$ el numero $\pi(x)$ de numeros primos menores o iguales a $x$ satisface,
$$ C_0^{-1} x / \ln x \le \pi(x) \le C_0 x / \ln x, $$
demuestre que existe una constante $C_1 > 1$ tal que para todo entero $r \ge 2$, el $r$-esimo numero primo $p_r$ satisface
$$ C_1^{-1} r \ln r \le p_r \le C_1 r \ln r. $$
! Problema 4
Demuestre que el subconjunto de $\mathbb{R}$ de los numeros de Liouville es denso, residual y de medida de Lebesgue nula.
Esta es la pagina del curso de teoria de numeros (~MAT2225), primer semestre de 2010.
Las catedras son usualmente los martes y jueves de 11:30 a 12:50 en la N28, y las ayudantias los viernes de 16:30 a 17:50 en sala ~FT103. Sin embargo, tendremos algunos intercambios entre catedras y ayudantias, los que seran advertidos en las catedras y en los [[Anuncios]]. Una distribucion tentativa de las catedras se puede encontrar en el [[Calendario]]. Los dias martes que tengamos catedra, atendere consultas de 14:00 a 15:00.

Los contenidos y la bibliografia se pueden encontrar en el [[Programa|http://www.mat.puc.cl/archivos/File/Licenciaturas/Programas/MAT2225%20-%20Programa.pdf]]. Un recuento de la materia vista cada semana se puede encontrar en [[Materia pasada]].
! Evaluaciones
Se evaluara atraves de [[Tareas]], [[Controles|Evaluaciones]], [[Pruebas|Evaluaciones]], y de un examen. La nota de presentacion al examen sera el promedio de las notas de las pruebas y de la nota obtenida en los controles y las tareas. El examen valdra un 30 por ciento de la nota final.
!! Cronograma de evaluaciones
* Interrogacion 1: martes 6 de abril, de 18:00 a 21:00.
* Interrogacion 2: martes 11 de mayo, de 18:00 a 21:00.
* Interrogacion 3: martes 15 de junio, de 18:00 a 21:00.
* Examen: jueves 1 de julio, de 8:30 a 11:30.
<<<
''Nota'': Es recomendable ver esta pagina con [[Firefox|http://download.mozilla.org/?product=firefox-3.0.7&os=linux&lang=es-ES]]. Es probable que sea necesario [[instalar unas fuentes especiales|http://www.math.union.edu/~dpvc/jsMath/download/jsMath-fonts.html]] para ver bien los simbolos matematicos.
<<<
''Duracion: 3 horas''
''ESCOGER 3 PROBLEMAS''
! Problema 1
Demuestre que si $x$, $y$ y $z$ son enteros tales que $x^2 + y^2 = z^2$, entonces $60 | xyz$.
! [[Problema 2|Solucion I1, Problema 2]]
Dado un entero $n \ge 1$, determine todos los enteros $k \ge 1$ tales que $(n - 1)^2$ divide a $n^k - 1$.
! [[Problema 3|Solucion I1, Problema 3]]
Considere la sucesion torrencial definida por $T_1 = 7$, y para $n \ge 2$, inductivamente por $T_n = 7^{T_{n - 1}}$. Determine los dos ultimos digitos de la expansion decimal de $T_{10000}$.
! Problema 4
Dados subconjuntos $A$ y $B$ de $\mathbb{Z}$ denotaremos,
$$ A + B = \{ a + b : a \in A, b \in B \}
\mbox{ y } 
A B = \{ a b : a \in A, b \in B \}. $$
Fijemos un entero $m \ge 2$, y para cada $a$ entero sea
$$ [a] = \{ a + km : k \in \mathbb{Z} \}. $$
Determine cuales de las siguientes aserciones son verdaderas, justificando su respuesta:
# Para todo $a$, $b \in \mathbb{Z}$ tenemos $[a] + [b] = [a + b]$.
# Para todo $a$, $b \in \mathbb{Z}$ tenemos $[a] [b] = [ab]$.
''Duracion: 3 horas''
''ESCOGER 3 PROBLEMAS''
! Problema 1
Dado un numero primo $p$, determine modulo $p$ la suma de todos los residuos cuadraticos en $\{ 1, \ldots, p - 1 \}$.
! Problema 2
Sea $p$ un numero primo congruente a $-1$ modulo $3$. Demuestre que para todo entero $a$ no divisible por $p$ existe un entero $x$ tal que $x^3 \equiv a \text{ mod } p$.
! Problema 3
Sea $(B_n)_{n = 0}^{+ \infty}$ la susecion de numeros enteros impares definida inductivamente por $B_0 = B_1 = 1$, y para $n \ge 2$ por $B_n = B_{n - 1} + 2 B_{n - 2}$. Calcule el simbolo de Jacobi $\left( \frac{B_{1000001}}{B_{1000000}} \right)$.
! Problema 4
Sea $p$ un numero primo y sean $n$ y $m$ enteros que satisfacen $0 \le n < m$. Dado un entero $A$ que no es divisble por $p$, cuantas soluciones $x$ en $\{ 1, 2, \ldots, p^m \}$ puede tener la congruencia
$$ x^2 \equiv A p^n \text{ mod } p^m  ? $$
''Duracion: 3 horas''
''ESCOGER 3 PROBLEMAS''
! Problema 1
Demuestre que la convolucion de Dirichlet de dos funciones multiplicativas es multiplicativa. Demuestre ademas que si $d : \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ es la funcion que a cada entero $n \ge 1$ le asocia en numero de divisores de $d(n) = \sum_{d | n} 1$ y si $C$ es el subconjunto de $\mathbb{N}$ de todos los cuadrados perfectos, entonces
$$ d^2 * \pmb{1}_{C} = d * d. $$
! Problema 2
Dado un numero real $x$ sea $\pi(x)$ el numero de numeros primos menores o iguales a $x$. Demuestre que para todo entero $n \ge 1$ se tiene
$$ n^{\pi(2n) - \pi(n)} \le \left( {2n \atop n} \right) \le (2n)^{\pi(2n)}. $$
! Problema 3
Describa un algoritmo para calcular el simbolo de Jacobi de dos enteros impares con $k$ digitos binarios cuya complejidad computacional sea polinomial en $k$. Haga un analisis riguroso de la complejidad del algoritmo.
! Problema 4
Describa un algoritmo para multiplicar dos numeros enteros con $k$ digitos binarios cuya complejidad computacional sea $\mathcal{O}(k^{\gamma})$, para algun $\gamma \in (1, 2)$. Haga un analisis riguroso de la complejidad del algoritmo.
/***
|''Name:''|LegacyStrikeThroughPlugin|
|''Description:''|Support for legacy (pre 2.1) strike through formatting|
|''Version:''|1.0.2|
|''Date:''|Jul 21, 2006|
|''Source:''|http://www.tiddlywiki.com/#LegacyStrikeThroughPlugin|
|''Author:''|MartinBudden (mjbudden (at) gmail (dot) com)|
|''License:''|[[BSD open source license]]|
|''CoreVersion:''|2.1.0|
***/

//{{{
// Ensure that the LegacyStrikeThrough Plugin is only installed once.
if(!version.extensions.LegacyStrikeThroughPlugin) {
version.extensions.LegacyStrikeThroughPlugin = {installed:true};

config.formatters.push(
{
	name: "legacyStrikeByChar",
	match: "==",
	termRegExp: /(==)/mg,
	element: "strike",
	handler: config.formatterHelpers.createElementAndWikify
});

} //# end of "install only once"
//}}}
[[Anuncios]]
[[Calendario]]
[[Materia pasada]]
[[Evaluaciones]]
[[Ayudantias]]
[[Tareas]]

[[Inicial]]
[[Contacto]]
[[Enlaces]]
! Semanas del 14 y del 21 de junio
Aproximacion de numeros irracionales por racionales. Ecuaciones diofanticas homogeneas en dos variables.
[[Numeros algebraicos|http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_number]] y trascendentes. [[Numeros de|http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number]] [[Liouville|http://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Liouville]] y numeros diofantinos.  Los numeros de Liouville son transcendentes.
Numeros de Roth y el enunciado del [[teorema de Roth|http://en.wikipedia.org/wiki/Thue%E2%80%93Siegel%E2%80%93Roth_theorem]]. El conjunto de los numeros de Roth tiene medida de Lebesgue total. Los numeros de Liouville forman un conjunto residual denso de medida de Lebesgue nula.
El numero [[e|http://en.wikipedia.org/wiki/E_%28mathematical_constant%29]] es trascendente.
! Semana del 7 de junio
Repaso del algoritmo RSA.
Complejidad computacional del algoritmo de Euclides, del maximo comun divisor y de un inverso modulo un entero. Complejidad computacional de la raiz cuadrada y de la exponenciacion modular.
[[Algoritmos probabilisticos|http://en.wikipedia.org/wiki/Randomized_algorithm]] [[de tipo Monte Carlo|http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_algorithm]] y [[Las Vegas|http://en.wikipedia.org/wiki/Las_Vegas_algorithm]]. [[Test de primalidad de Solovasy y Strassen|http://en.wikipedia.org/wiki/Solovay%E2%80%93Strassen_primality_test]].
! Semana del 1 de junio
[[Teoria de complejidad computacional|http://en.wikipedia.org/wiki/Computational_complexity_theory]]: [[la notacion "O grande"|http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation]].
[[Complejidad computacional de algunas operaciones basicas|http://en.wikipedia.org/wiki/Computational_complexity_of_mathematical_operations]]. Algoritmo de multiplicacion [[de Karatsuba|http://en.wikipedia.org/wiki/Karatsuba_algorithm]] y [[de Toom-Cook|http://en.wikipedia.org/wiki/Toom%E2%80%93Cook_multiplication]].
Caracteres cifrados, codigos secretos, claves publicas y el [[algoritmo de RSA|http://en.wikipedia.org/wiki/RSA]].
! Semana del 17 de mayo
Orden de magnitud de $\pi(x)$ y [[demostracion del postulado de Bertrand|http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Bertrand%27s_postulate]]
! Semanas del 3 y del 10 de mayo
Elementos de la teoria de grupos, grupos ciclicos, indices.
[[Funciones multiplicativas|http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_function]] y la [[formula de inversion de Moebius|http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_inversion_formula]]. Demostracion alternativa de algunas de las propiedades de la funcion $\varphi$ de Euler.
[[Convolucion de|http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_convolution]] [[Dirichlet|http://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet]] y su relacion con las [[series de Dirichlet|http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_series]]. La formula de inversion de Moebius usando la convolucion de Dirichlet.
La [[funciones de conteo de divisores y suma de divisores|http://en.wikipedia.org/wiki/Divisor_function]] como convoluciones de Dirichlet. [[Funcion de|http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_function]] [[Liouville|http://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Liouville]]. [[Series de|http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_series]] [[Lambert|http://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Heinrich_Lambert]].
Formula cerrada de una recurrencia cuadratica generica.
Trios pitagoricos.
! Semana del 16 de abril
[[El metodo iterativo de|http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method]] [[Newton|http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton]] aplicado a encontrar raices cuadraticas modulo una potentica de un numero primo. [[Numeros p-adicos|http://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number]].
Ecuaciones cuadraticas modulo un numero compuesto. Calculo de raices cuadraticas modulo un primo que no es congruente a $1$ modulo $8$.
[[Primos de Mersenne|http://en.wikipedia.org/wiki/Mersenne_prime]] y el [[test de primalidad de|http://en.wikipedia.org/wiki/Lucas%E2%80%93Lehmer_primality_test]] [[Lucas|http://en.wikipedia.org/wiki/Edouard_Lucas]] y [[Lehmer|http://en.wikipedia.org/wiki/Derrick_Henry_Lehmer]]
! Semana del 19 de abril
Los numeros $3$ y $5$ como residuos cuadraticos. Comparacion entre el simbolo de Legendre y el simbolo de Jacobi.
Residuos cuadraticos modulo un numero compuesto.
! Semana del 12 de abril
[[ 2.1 Demostracion del criterio de Euler]] sin usar raices primitivas de la unidad
Existencia de raices primitivas de la unidad: demostracion usando argumento de conteo. Residuos para potencias mayores que dos, y otra demostracion de la existencia de raices primitivas. Sobre la existencia de raices primitivas de la unidad para modulos que no son primos.
Propiedades basicas del simbolo de Legendre. [[Lema de Gauss|http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_lemma_%28number_theory%29]]. Demostracion de la reciprocidad cuadratica.
[[El simbolo de|http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_symbol]] [[Jacobi|http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Gustav_Jakob_Jacobi]].
! Semana del 05 de abril
[[Residuos cuadraticos|http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_residue]], el [[simbolo de|http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_symbol]] [[Legendre|http://en.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre]], y el enunciado de la [[reciprocidad cuadratica|http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_reciprocity]]. [[Teorema de Wilson|http://en.wikipedia.org/wiki/Wilson%27s_theorem]], y $-1$ como residuo quadratico. Comentarios sobre [[tests de primalidad|http://en.wikipedia.org/wiki/Primality_test]].
[[Raices primitivas|http://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_root_modulo_n]], y el [[criterio de Euler|http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_criterion]].
! Semana del 29 de marzo
Repaso: equaciones lineales en congruencias.
Formula de la funcion $\phi$: [[principio de inclusion-exclusion|http://en.wikipedia.org/wiki/Inclusion%E2%80%93exclusion_principle]]. Otra formula en terminos de la [[funcion de|http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_function]] [[Moebius|http://en.wikipedia.org/wiki/August_Ferdinand_M%C3%B6bius]] $\mu$. La formula $\sum_{d | n} \phi(d) = n$.
! Semana del 22 de marzo
Repaso sobre las ecuaciones diofantinas lineales.
Infinitud de numeros primos: [[demostraciones de|http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_theorem#Euler.27s_proof]] [[Euler|http://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler]] y [[de|http://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes]] [[Furstenberg|http://en.wikipedia.org/wiki/Hillel_Furstenberg]].
[[Aritmetica modular|http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic]]: [[relacion de congruencia|http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic#The_congruence_relation]], las clases de congruencias vistas como un [[anillo|http://en.wikipedia.org/wiki/Ring_%28mathematics%29]], como un [[grupo|http://en.wikipedia.org/wiki/Group_%28mathematics%29]] aditivo provisto de una multiplicacion, de forma elemental. Elementos invertibles y el [[teorema chino de los restos|http://www.google.cl/url?sa=t&source=web&ct=res&cd=1&ved=0CAsQFjAA&url=http%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FChinese_remainder_theorem&ei=7HGrS5TcFMqPtgezuPTTDw&usg=AFQjCNEStgJUmIcEim90ebybRgtBmDpX9Q&sig2=ZvrmqEaoBkvyCVNQW2fETw]].
El [[pequeno teorema de|http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_little_theorem#Generalizations]] [[Fermat|http://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat]], [[funcion|http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function]] $\phi$, y el [[teorema de Euler|http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_theorem]].
! Semanas del 08 y 15 de marzo
[[El principio del buen orden|http://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_principle]]. [[Divisibilidad|http://es.wikipedia.org/wiki/Divisibilidad]]: propiedades de divisibilidad con respecto a sumas y combinaciones lineales. [[El algoritmo de division euclidiana|http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm]].
[[1.A Maximo comun divisor]]
[[1.B Minimo comun multiplo]]
[[Ecuaciones diofanticas lineales con dos variables|http://en.wikipedia.org/wiki/Diophantine_equation#Linear_Diophantine_equations]], y el [[algoritmo euclidiano extendido|http://en.wikipedia.org/wiki/Extended_Euclidean_algorithm]].
[[Numeros primos|http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number]], y el [[teorema de factorizacion unica|http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_arithmetic]]. [[Existencia de infinitos primos|http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_theorem]]: [[demostracion de|http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_Theorem#Euclid.27s_proof]] [[Euclides|http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid]]. Sobre la distribucion de los numeros primos: [[gaps en al sucesion de numeros primos|http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap]], y los enunciados del [[postulado de Bertrand|http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_postulate]] y del [[teorema de los numeros primos|http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem]].
/***
|Name|Plugin: jsMath|
|Created by|BobMcElrath|
|Email|my first name at my last name dot org|
|Location|http://bob.mcelrath.org/tiddlyjsmath.html|
|Version|1.5.1|
|Requires|[[TiddlyWiki|http://www.tiddlywiki.com]] &ge; 2.0.3, [[jsMath|http://www.math.union.edu/~dpvc/jsMath/]] &ge; 3.0|
!Description
LaTeX is the world standard for specifying, typesetting, and communicating mathematics among scientists, engineers, and mathematicians.  For more information about LaTeX itself, visit the [[LaTeX Project|http://www.latex-project.org/]].  This plugin typesets math using [[jsMath|http://www.math.union.edu/~dpvc/jsMath/]], which is an implementation of the TeX math rules and typesetting in javascript, for your browser.  Notice the small button in the lower right corner which opens its control panel.
!Installation
In addition to this plugin, you must also [[install jsMath|http://www.math.union.edu/~dpvc/jsMath/download/jsMath.html]] on the same server as your TiddlyWiki html file.  If you're using TiddlyWiki without a web server, then the jsMath directory must be placed in the same location as the TiddlyWiki html file.

I also recommend modifying your StyleSheet use serif fonts that are slightly larger than normal, so that the math matches surrounding text, and \\small fonts are not unreadable (as in exponents and subscripts).
{{{
.viewer {
  line-height: 125%;
  font-family: serif;
  font-size: 12pt;
}
}}}

If you had used a previous version of [[Plugin: jsMath]], it is no longer necessary to edit the main tiddlywiki.html file to add the jsMath <script> tag.  [[Plugin: jsMath]] now uses ajax to load jsMath.
!History
* 11-Nov-05, version 1.0, Initial release
* 22-Jan-06, version 1.1, updated for ~TW2.0, tested with jsMath 3.1, editing tiddlywiki.html by hand is no longer necessary.
* 24-Jan-06, version 1.2, fixes for Safari, Konqueror
* 27-Jan-06, version 1.3, improved error handling, detect if ajax was already defined (used by ZiddlyWiki)
* 12-Jul-06, version 1.4, fixed problem with not finding image fonts
* 26-Feb-07, version 1.5, fixed problem with Mozilla "unterminated character class".
* 27-Feb-07, version 1.5.1, Runs compatibly with TW 2.1.0+, by Bram Chen
!Examples
|!Source|!Output|h
|{{{The variable $x$ is real.}}}|The variable $x$ is real.|
|{{{The variable \(y\) is complex.}}}|The variable \(y\) is complex.|
|{{{This \[\int_a^b x = \frac{1}{2}(b^2-a^2)\] is an easy integral.}}}|This \[\int_a^b x = \frac{1}{2}(b^2-a^2)\] is an easy integral.|
|{{{This $$\int_a^b \sin x = -(\cos b - \cos a)$$ is another easy integral.}}}|This $$\int_a^b \sin x = -(\cos b - \cos a)$$ is another easy integral.|
|{{{Block formatted equations may also use the 'equation' environment \begin{equation}  \int \tan x = -\ln \cos x \end{equation} }}}|Block formatted equations may also use the 'equation' environment \begin{equation}  \int \tan x = -\ln \cos x \end{equation}|
|{{{Equation arrays are also supported \begin{eqnarray} a &=& b \\ c &=& d \end{eqnarray} }}}|Equation arrays are also supported \begin{eqnarray} a &=& b \\ c &=& d \end{eqnarray} |
|{{{I spent \$7.38 on lunch.}}}|I spent \$7.38 on lunch.|
|{{{I had to insert a backslash (\\) into my document}}}|I had to insert a backslash (\\) into my document|
!Code
***/
//{{{

// AJAX code adapted from http://timmorgan.org/mini
// This is already loaded by ziddlywiki...
if(typeof(window["ajax"]) == "undefined") {
  ajax = {
      x: function(){try{return new ActiveXObject('Msxml2.XMLHTTP')}catch(e){try{return new ActiveXObject('Microsoft.XMLHTTP')}catch(e){return new XMLHttpRequest()}}},
      gets: function(url){var x=ajax.x();x.open('GET',url,false);x.send(null);return x.responseText}
  }
}

// Load jsMath
jsMath = {
  Setup: {inited: 1},          // don't run jsMath.Setup.Body() yet
  Autoload: {root: new String(document.location).replace(/[^\/]*$/,'jsMath/')}  // URL to jsMath directory, change if necessary
};
var jsMathstr;
try {
  jsMathstr = ajax.gets(jsMath.Autoload.root+"jsMath.js");
} catch(e) {
  alert("jsMath was not found: you must place the 'jsMath' directory in the same place as this file.  "
       +"The error was:\n"+e.name+": "+e.message);
  throw(e);  // abort eval
}
try {
  window.eval(jsMathstr);
} catch(e) {
  alert("jsMath failed to load.  The error was:\n"+e.name + ": " + e.message + " on line " + e.lineNumber);
}
jsMath.Setup.inited=0;  //  allow jsMath.Setup.Body() to run again

// Define wikifers for latex
config.formatterHelpers.mathFormatHelper = function(w) {
    var e = document.createElement(this.element);
    e.className = this.className;
    var endRegExp = new RegExp(this.terminator, "mg");
    endRegExp.lastIndex = w.matchStart+w.matchLength;
    var matched = endRegExp.exec(w.source);
    if(matched) {
        var txt = w.source.substr(w.matchStart+w.matchLength, 
            matched.index-w.matchStart-w.matchLength);
        if(this.keepdelim) {
          txt = w.source.substr(w.matchStart, matched.index+matched[0].length-w.matchStart);
        }
        e.appendChild(document.createTextNode(txt));
        w.output.appendChild(e);
        w.nextMatch = endRegExp.lastIndex;
    }
}

config.formatters.push({
  name: "displayMath1",
  match: "\\\$\\\$",
  terminator: "\\\$\\\$\\n?", // 2.0 compatability
  termRegExp: "\\\$\\\$\\n?",
  element: "div",
  className: "math",
  handler: config.formatterHelpers.mathFormatHelper
});

config.formatters.push({
  name: "inlineMath1",
  match: "\\\$", 
  terminator: "\\\$", // 2.0 compatability
  termRegExp: "\\\$",
  element: "span",
  className: "math",
  handler: config.formatterHelpers.mathFormatHelper
});

var backslashformatters = new Array(0);

backslashformatters.push({
  name: "inlineMath2",
  match: "\\\\\\\(",
  terminator: "\\\\\\\)", // 2.0 compatability
  termRegExp: "\\\\\\\)",
  element: "span",
  className: "math",
  handler: config.formatterHelpers.mathFormatHelper
});

backslashformatters.push({
  name: "displayMath2",
  match: "\\\\\\\[",
  terminator: "\\\\\\\]\\n?", // 2.0 compatability
  termRegExp: "\\\\\\\]\\n?",
  element: "div",
  className: "math",
  handler: config.formatterHelpers.mathFormatHelper
});

backslashformatters.push({
  name: "displayMath3",
  match: "\\\\begin\\{equation\\}",
  terminator: "\\\\end\\{equation\\}\\n?", // 2.0 compatability
  termRegExp: "\\\\end\\{equation\\}\\n?",
  element: "div",
  className: "math",
  handler: config.formatterHelpers.mathFormatHelper
});

// These can be nested.  e.g. \begin{equation} \begin{array}{ccc} \begin{array}{ccc} ...
backslashformatters.push({
  name: "displayMath4",
  match: "\\\\begin\\{eqnarray\\}",
  terminator: "\\\\end\\{eqnarray\\}\\n?", // 2.0 compatability
  termRegExp: "\\\\end\\{eqnarray\\}\\n?",
  element: "div",
  className: "math",
  keepdelim: true,
  handler: config.formatterHelpers.mathFormatHelper
});

// The escape must come between backslash formatters and regular ones.
// So any latex-like \commands must be added to the beginning of
// backslashformatters here.
backslashformatters.push({
    name: "escape",
    match: "\\\\.",
    handler: function(w) {
        w.output.appendChild(document.createTextNode(w.source.substr(w.matchStart+1,1)));
        w.nextMatch = w.matchStart+2;
    }
});

config.formatters=backslashformatters.concat(config.formatters);

window.wikify = function(source,output,highlightRegExp,tiddler)
{
    if(source && source != "") {
        if(version.major == 2 && version.minor > 0) {
            var wikifier = new Wikifier(source,getParser(tiddler),highlightRegExp,tiddler);
            wikifier.subWikifyUnterm(output);
        } else {
            var wikifier = new Wikifier(source,formatter,highlightRegExp,tiddler);
            wikifier.subWikify(output,null);
        }
        jsMath.ProcessBeforeShowing();
    }
}
//}}}
Primer semestre 2010
CURSO DE TEORIA DE NUMEROS
Buscamos los enteros $k \ge 1$ tales que,
$$ N_k := (n^k - 1) / (n - 1) = n^{k - 1} + n^{k - 2} + \cdots + n^0, $$
es congruente a $0$ modulo $n - 1$. Como para todo entero $j \ge 0$ el numero $n^j$ es congruente a $1$ modulo $n - 1$, concluimos que $N_k$ es conguente a $k$ modulo $n - 1$. Por lo tanto $n^k - 1$ es divisible por $(n - 1)^2$ si y solo si $k$ es divisible por $n - 1$.
Observemos primeramente que $\phi(100) = 40$, y que $\phi(40) = 16$.
Como $7^2 = 49$ es congruente a $1$ modulo $16$, concluimos que para todo entero $n \ge 1$ el entero $T_n$ es congruente a $7$ modulo $16$. Por lo tanto, por el pequeno teorema de Fermat, tenemos que $T_{n + 1} = 7^{T_n}$ es congruente a $7^7$ modulo $40$. Ademas,
$$ T_{n + 1} \equiv 7^7 \equiv 9^3 7 \equiv 9 * 7 \equiv 63 \equiv 23 \text{ mod } 40. $$
Usando el pequeno teorema de Fermat nuevamente, concluimos que para todo entero $n \ge 1$,
$$ T_{n + 2} \equiv 7^{23} \text{ mod } 100. $$
Como $7^4 = 2401 \equiv 1 \text{ mod } 100$, concluimos que
$$ T_{n + 2} \equiv 7^3 \equiv 43 \text{ mod } 100. $$
En particular, $T_{10000} \equiv 43 \text{ mod } 100$.
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  font-family: serif;
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}
! Problema 1.A
Sea $a, k$ numero naturales, y sean $b_1, \ldots, b_k$, $c_1, \ldots, c_k$ numeros enteros. Demuestre que si para todo $j \in \{ 1, \ldots, k \}$ tenemos $a | b_j$, entonces $a | \sum_{j = 1}^k c_j b_j$.
! Problema 1.B
Dado un entero $k \ge 1$ y numeros enteros no nulos $a_1, \ldots, a_k$, demuestre que el maximo comun divisor de $a_1, \ldots, a_k$ es igual a la menor combinacion lineal entera positiva de $a_1, \ldots, a_k$.
! Problema 1.C
Demustre que si $n$ es un numero entero impar, entonces $8$ divide a $n^2 - 1$.
! Problema 1.D
Use el algoritmo de division euclidiana para econtrar el maximo comun divisor de 7469, y 2464. Encuentre ademas numeros enteros $a$ y $b$ tales que $7469 a + 2464 b = 77$.
! Problema 2.A
Determine todos los enteros $m$ tales que $m^2 + m + 1$ es un cuadrado perfecto.
! Problema 2.B
Demuestre que para todo entero positivo $n$ existe un entero $m \ge 0$, y enteros $0 \le j_0 < j_1 < \cdots < j_m$ tal que,
$$2^{j_0} + 2^{j_1} + \cdots + 2^{j_m} = n. $$
Demuestre ademas que $m$ y cada uno de los enteros $0 \le j_0 < j_1 < \cdots < j_m$, esta unicamente determinado por $n$.
! Problema 2.C
Demuestre que si $n$ es un entero tal que $2^n + 1$ es un numero primo, entonces $n$ es una potencia de $2$.
! Problema 2.D
Demuestre que si $a, b$ y $n$ son enteros positivos tal que $n \ge 2$, entonces
$$ (n^a - 1, n^b -1) = n^{(a, b)} - 1. $$
! Problema 2.E
Encuentre todos los enteros $x$ que satisfacen las siguientes congruencias
* $x \equiv 3 \text{ mod } 7$,
* $x \equiv 5 \text{ mod } 11$,
* $x \equiv 6 \text{ mod } 13$,
y tal que $2000 \le x \le 3000$.
! Problema 2.F
* Encuentre todos los enteros $x$ tales que $2017x \equiv 532 \text{ mod } 4001$.
* Encuentre todos los enteros $y$ tales que $y^2 - y \equiv 44 \text{ mod } 77$.
* Encuentre todos los enteros $z$ tales que $7 z^3 \equiv 5 \text{ mod } 17$.
! Problema 2.G
Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que $\phi(n) | 24$.
! Problema 2.H (''puntos extra'')
Determine todos los numeros primos $p$ tales que el numero entero
$$ (p - 1)! \left( 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{p - 1} \right) $$
es divisible por $p^2$.
! Problema 3.A
Dado un numero primo $p$ determine todos los enteros positivos $k$ tales que $(p - 1)^3$ divide a $p^k - 1$.
! Problema 3.B
Determine todos los numeros primos $p$ para los cuales $(p - 1)! + 1$ es una potencia de $p$.
! Problema 3.C
Dado un entero $m \ge 2$ calcule
$$ \prod_{k = 1, (k, m) = 1}^m k, $$
modulo $m$.
! Problema 3.D
Sean $\alpha$ y $\beta$ numeros irracionales positivos tales que $\alpha^{-1} + \beta^{-1} = 1$. Demuestre que los conjuntos
$$ A := \{ [\alpha n] : n \in \mathbb{N} \}, \text{ y } B:= \{ [\beta m] : m \in \mathbb{N} \} $$
son disjuntos y que $A \cup B = \mathbb{N}$.
! Problema 3.E
Encuentre todas las raices primitivas modulo $101$.
! Problema 3.F
Dados enteros positivos $a$ y $b$ demuestre que $a! \cdot b! \cdot (a + b)!$ divide a $(2a)! \cdot (2b)!$.
! Problema 3.G
Dados enteros positivos $a$ y $b$, y un numero primo $p$, demuestre que $\left( {pa \atop pb} \right) $ es congruente a $\left( {a \atop b} \right)$ modulo $p^2$.
! Problema 3.H (puntos extra)
Dados enteros positivos $a$ y $b$, y un numero primo $p$, demuestre que $\left( {pa \atop pb} \right) $ es congruente a $\left( {a \atop b} \right)$ modulo $p^3$.
! Problema 4.A
Encuentre todos los enteros $x$ tales que $x^2 \equiv 73 \text{ mod } 1296$.
! Problema 4.B
Sea $p$ un numero primo impar y sea $a \in \{ 1, \ldots, p - 1 \}$. Determine el numero de pares $(x, y) \in \{ 1, \ldots, p - 1 \}^2$ tales que $x^2 - y^2 \equiv a \text{ mod } p$.
! Problema 4.C
Determine todos los enteros $m \ge 2$ para los cuales existen enteros $x$ e $y$ tal que $m$ divide a $x^2 + y^2$.
! Problema 4.D
Sea $m \ge 2$ un entero. Usando $\varphi(m)$, determine cuantos numeros coprimos con $m$ en $\{ 1, \ldots, m - 1 \}$ son residuos cuadraticos modulo $m$.
! Problema 5.A
Sea $\mathcal{D}$ el espacio de todas las funciones $f : \mathbb{N} \to \mathbb{C}$. Demuestre que $\mathcal{D}$ provisto con la suma puntual y la convolucion de Dirichlet es un anillo conmutativo con unidad.
! Problema 5.B
Sea $n$ un entero positivo y sea $k$ el numero de factores primos de $n$. Demuestre que
$$ \sum_{d | n} |\mu(d)| = 2^k. $$
! Problema 5.C
Demuestre que si $n$ en un entero par, entonces
$$ \sum_{d | n} \mu(d) \varphi(d) = 0. $$
! Problema 5.D
Demuestre que para todo entero positivo $k$ existe un entero positivo $n$ tal que
$$ \mu(n) = \mu(n + 1) = \cdots = \mu(n + k). $$
! Problema 5.E
Sea $(F_n)_{n \ge 0}$ la sucesion de Fibonacci, definida inductivamente por $F_0 = 0$, $F_1 = 1$ y para $n \ge 2$ por $F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2}$.
* Demuestre que para todo $n \ge 1$
$$ F_n^2 - F_{n + 1} F_{n - 1} = (-1)^n. $$
* Demuestre que si $n$ y $d$ son enteros positivos tales que $d | n$, entonce $F_d | F_n$.
! Problema 5.F
Dado un numero $x \ge 0$ sea $\pi(x)$ el numero de numeros primos menores o iguales a $x$. Demuestre que para todo entero $n \ge 1$ se tiene,
$$ n^{\pi(2n) - \pi(n)}
\le
\left( {2n \atop n} \right), $$
y
$$ 4^n / (2n + 1)
<
\left( {2n \atop n} \right)
<
4^n. $$
! Problema 6.A
Sea $n \ge 1$ un numero entero tal que $n - 1 > \varphi(n) > n - n^{2/3}$. Demuestre que $n$ es el producto de dos numeros primos.
! Problema 6.B
Dado un numero entero $n$ con $k$ digitos, estime en funcion de $k$ la complejidad computacional para calcular los siguientes numeros:
* $3^n$.
* $n!$.
* $n^n$.
* $2^{2^n}$.
! Problema 6.C
Describa el algoritmo de division de Newton - Raphson y haga una estimacion rigurosa de su complejidad computacional.
* [[Tarea 6]], a ser entregada el martes 15 de junio, antes de la [[Interrogacion 3]].
* [[Tarea 5]], a ser entregada el viernes 28 de mayo, durante la ayudantia.
* [[Tarea 4]], a ser entregada el martes 11 de mayo, antes de la [[Interrogacion 2]].
* [[Tarea 3]], a ser entregada el viernes 23 de abril, durante la ayudantia.
* [[Tarea 2]], a ser entregada el martes 06 de abril, antes de la [[Interrogacion 1]].
* [[Tarea 1]], a ser entregada el viernes 26 durante la ayudantia.