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Investigadores de la Pontificia Universidad Católica de Chile y de otras instituciones resuelven enigma matemático de más de 70 años

Un problema abierto por más de siete décadas en el área resolución de singularidades fue recientemente resuelto por los investigadores Federico Castillo (UC), Maximiliano Leyton-Álvarez (U. de Talca), Álvaro Liendo (U. de Talca) y Daniel Duarte (UNAM Morelia), quienes demostraron que una idea propuesta por John Nash (el célebre matemático de “Una mente brillante”) no funciona en general.

Los resultados fueron presentados en el artículo titulado “Nash Blowup fails to resolve singularities in dimensions four and higher”, recientemente aceptado por la destacada revista Annals of Mathematics, una de las publicaciones más importantes del mundo y reconocida por divulgar resultados de gran impacto y profundidad en distintos campos de la matemática, a través de un proceso editorial muy exigente.

¿De qué trata el problema?

“En términos generales, el tema puede ser descrito de la siguiente forma: hay figuras geométricas que son lisas, como una bola de billar; y otras que no lo son, como un cono de helado. Ser “liso” significa que, en cada punto de la superficie, lo que está muy cerca se parece a un plano. No es plano -como tampoco lo es la Tierra-, pero la aproximación es lo suficientemente buena para que algunos argumentos tengan sentido (por ejemplo, orientar las calles de una ciudad con respecto a los ejes cardinales)”, explicó el académico de la Facultad de Matemáticas UC, Federico Castillo.

“En cambio, en la puntita del lápiz, ningún plano se le parece de cerca, y esa “protuberancia” complica mucho las cosas cuando uno quiere hacer cálculos. Entonces, la idea general es “alisar” una superficie no lisa: reemplazarla por otra que sea lisa, pero lo más parecida posible a la original. Ese es el problema central, y da origen a toda un área de la geometría algebraica. Usualmente se describen operaciones que, si bien no alisan completamente una superficie, la transforman en algo “más liso”. Lo difícil es definir de manera precisa qué significa ser liso”, agregó Castillo.

El aporte del trabajo

El matemático John Nash propuso una estrategia general: para cualquier superficie, aplicar repetidamente una operación llamada “modificación de Nash”, con la esperanza de que, después de un número grande pero finito de pasos, el objeto se vuelva liso.

La idea parecía prometedora, especialmente porque en dimensión dos el matemático Mark Spivakovsky demostró que efectivamente la operación alisa todo.

El aporte de los investigadores es un ejemplo muy particular de un objeto en dimensión cuatro en el que esta operación nunca logra alisar, sin importar cuántas veces se aplique.

¿Cómo surgió la investigación?

El proyecto surgió durante un taller realizado en Talca (Chile), en enero de 2024. “Desde 2022, venimos organizando los encuentros llamados “AGREGA”, donde invitamos a matemáticos a dedicar un día completo a contarnos sobre sus problemas de investigación”, comentó Federico Castillo.

En el tercer encuentro, “AGREGA 3”, el profesor Daniel Duarte (México), que visitaba a Maximiliano Leyton-Álvarez, presentó el problema de estudiar las modificaciones de Nash para una familia de figuras muy especial. “La ventaja de esa familia es que puede describirse completamente en un computador, así que empezamos con algunos experimentos computacionales”, agregó el académico UC.

“Intentamos mostrar que las modificaciones de Nash alisaban esas figuras, pero nos topamos con un fenómeno extraño que aparecía en dimensión cuatro (en dimensión tres la pregunta sigue abierta). Tras una inspección cuidadosa, encontramos un objeto que pudimos verificar que “no se alisaba” mediante las operaciones de Nash”, explicó el profesor.