Coloquio de Matemática UC

El Coloquio de Matemática UC está dirigido a todo la comunidad matemática de la UC y en particular a los estudiantes de pregrado y posgrado, por lo cual se presentan de manera general los temas principales del expositor, con el propósito de motivar a los estudiantes. Esta es una instancia excelente para nuestros estudiantes de posgrado, por ejemplo.

El sitio anterior del coloquio con información sobre charlas anteriores se puede encontrar aquí.

El público se compone de personas que tienen una formación general en matemática. Estamos en particular tratando que los coloquios sean más bien generales, dirigidos principalmente a estudiantes de Matemática. Las charlas duran 50 minutos (mas discusión). Por favor adaptar el nivel de los primeros 25 minutos (por menos) de su presentación a este público. Nosotros consideramos estas sugerencias en el sitio de AMS útiles:

Rayssa Caju. CMM - Universidad de Chile
Prescribing the Shape of a Surface
salas multiuso Edificio Villanueva
Inspired by the famous Uniformization theorem, the problem of prescribing the Gaussian curvature of a given closed surface gained popularity in the 70’s, particularly due to groundbreaking works of J. Kazdan and F. Warner. In this talk, my goal is to revisit this problem, as well as discuss some recent developments in the case where the surface has a boundary. 
Rodolfo Gutiérrez-Romo. Universidad de Chile
Dinámica de billares poligonales y superficies planas
salas multiuso Edificio Villanueva
Un flujo de billar poligonal consiste en la evolución en el tiempo de una partícula que rebota elásticamente dentro de un polígono conexo (no necesariamente rectangular). Desde los años 80, se observó que este flujo está íntimamente relacionado con otro flujo en un espacio de fase diferente, en el que es la mesa de billar quien se deforma en el tiempo. En este coloquio, explicaré cómo surge esta la relación y cómo se ha aprovechado para comprender mejor ambos flujos.
Gunther Uhlmann. University of Washington
Travel Time tomography and boundary rigidity
Edificio Villanueva
We will consider the inverse problem of determining the sound speed or
index of refraction of a medium by measuring the travel times of waves
going through the medium. This problem arises in global seismology in
an attempt to determine the inner structure of the Earth by measuring
travel times of earthquakes. It also has several applications in
optics and medical imaging among others.

The problem can be recast as a geometric one:  Can one determine
the Riemannian metric of a Riemannian manifold with boundary by
measuring the distance function between boundary points? This is the
boundary rigidity problem. We will also consider the problem of
determining the metric from the scattering relation, the so-called
lens rigidity problem. No previous knowledge of differential
geometry will be assumed.
Ignacio Vergara . Usach
El problema de Dixmier
Sala multiuso primer piso edificio Villanueva

El problema de Dixmier relaciona grupos, operadores en espacios de Hilbert y promedios. Fue formulado a principios de los años 50 por Jacques Dixmier y sigue siendo una pregunta abierta hasta el día de hoy.


Todo operador invertible con potencias uniformemente acotadas es semejante a un operador unitario (isometría invertible). Esto es una consecuencia de la existencia de una buena noción de promedio en los números enteros. Estas ideas se pueden extender al mundo de los grupos y sus representaciones, dando origen a los conceptos de grupo unitarizable y grupo promediable. El problema de Dixmier busca entender si estas dos definiciones son equivalentes.


Daré un recuento sobre los orígenes de esta pregunta y los progresos que han habido en pos de su resolución.

Jeremy Martin. University of Kansas
¿ Cuántos árboles tiene una red ?
Sala multiuso Edifico Villanueva
The number of spanning trees in a graph is a classic measure of its complexity and resiliency as a network.  There are many beautiful counting formulas for specific graphs, as well as a surprising and elegant connection between tree counting and electrical networks.  A more recent development is the generalization of tree enumeration theory from graphs to higher-dimensional networks, pioneered by Bolker (1978) and Kalai (1983).  The topological complexity of high dimension makes it more complicated to say what “counting” means.  On the other hand, there is good news: many nice formulas for graphs can generalize well, as does the theory of electrical networks.  This talk should be accessible to students; the only background needed is a basic course in linear algebra.
Robert Auffarth. Universidad de Chile
Cocientes suaves de toros complejos por grupos finitos
En esta charla, veremos cómo el intento fallido de contestar una pregunta de Ekedahl y Serre llevó al descubrimiento de una serie de resultados importantes para acciones de grupos en toros complejos, así conectando trabajos anteriores realizados por Yoshihara, Tokunaga, Yoshida, Catanese, Demleitner, entre otros. Específicamente, dado un grupo finito actuando en un toro complejo, hablaremos a grandes rasgos de cuándo se le puede dar al espacio cociente la estructura de manifold complejo. Esta charla será accesible a estudiantes de postgrado. Trabajo en conjunto con Giancarlo Lucchini Arteche.
Sid Mathur. UC Chile
Degeneration in Algebraic Geometry
Edificio Felipe Villanueva
Classical algebraic geometry is the study of sets of solutions of polynomials in $\mathbb{C}^n$. These are called complex varieties. In Grothendieck's modern formulation, we instead consider varieties inside $R^n$ for any commutative ring $R$. This perspective not only unites complex geometry and number theory (for example, when $R$ is a finite field) but also permits interaction between the two. The idea underpinning this interplay is degeneration: the modern formulation allows us to witness the movement of one variety into another.
In this talk, we will survey the technique of degeneration, and focus on two celebrated examples, one arithmetic and the other geometric in nature. Each will highlight the rich interplay between complex geometry and number theory. Time permitting we will explain the technical results that allow us to transport geometric data between two nearby varieties in a family.
Pedro Gaspar. UC Chile
Morse theory and some geometric applications to the area functional
Felipe Villanueva multiuso
In this expository talk we explore some fundamental ideas from min-max and Morse theories - after George Birkhoff (1884-1944) and Marston Morse (1892-1977) -, which study deep connections between topology and analysis from a variational perspective and which have profuse applications to other branches of mathematics and sciences. We look deeper into some recent developments of this theory to the study of minimal surfaces -the critical points of the area, one most natural geometric quantities- and describe certain connections to geometric differential equations.
Sinai Robins. Universidade de São Paulo
The geometry of numbers, and an extension of the Bombieri-Siegel formula
sala multiusos 1er piso Villanueva
First, we introduce basic notions from the geometry of numbers, with examples that are accompanied by many figures.  In this work, we extend a formula of Carl Ludwig Siegel and Enrico Bombieri, in the geometry of numbers, allowing a compact set to contain an arbitrary number of interior lattice points.  Our extension involves certain lattice sums, called covariograms and defined from scratch, for any two bounded sets A, B  R^d.  We begin with a new variation of the Poisson summation formula, which may be of independent interest.  One of the consequences of these results is a new characterization of multi-tilings of Euclidean space by translations.   Some classical results, such as Van der Corput's inequality, also follow as corollaries.  Most of the concepts will be defined and explained.  This is joint work with Michel Faleiros Martins.
Bernardo Uribe. Universidad del Norte, Barranquilla, Colombia
Rellenando variedades
Edificio Villanueva primer piso
En esta charla haré un recorrido por la historia de la pregunta relacionada al rellenado de variedades. Desde Euler, Betti, Poincaré, Pontrjagin, Thom, Milnor y Novikov hasta el día de hoy.
Avelio Sepúlveda. U de Chile
An overview on the level set of the two-dimensional Gaussian free field
Edificio Villanueva
The Gaussian free field (GFF) is the generalisation of Brownian motion when time is replaced by a two-dimensional domain. And in the last twenty years, it has been a cornerstone in the study of two-dimensional random geometry, as it is a tractable object that satisfies the conformal invariant property that is expected to appear in the scaling limit of critical systems in dimension two. In this colloquium, I will discuss the theory that allows us to define the level set for this field.
More precisely, the colloquium is expected to be accessible to students and researchers that understand the basic results in probability theory, and thus I will (informally) introduce the Brownian motion and the GFF. Then I will discuss 
their regularity and their Markov property. To finish, I will give the idea used to construct their level sets and to study their properties. This voyage will take us in such different fields as probability theory, complex analysis, partial differential equations, and fractal geometry.
Cristóbal Guzmán. UC Chile
Una Introducción a la Privacidad Diferencial
Edificio Villanueva
El avance científico y tecnológico depende en gran medida de la capacidad de analizar grandes volúmenes de datos, los cuales muchas veces contienen información confidencial de usuarios. Esta situación presenta el desafío de compartir y analizar estos datos, manteniendo la privacidad de los usuarios. Por ya más de una década, la privacidad diferencial se ha establecido como un estándar efectivo para cuantificar el riesgo de privacidad asociado al uso de datos por parte de un algoritmo. En esta charla presentaremos la noción de privacidad diferencial junto con algunos de sus mecanismos básicos. Si el tiempo lo permite, nos enfocaremos en mi investigación más reciente en optimización estocástica diferencialmente privada, que resulta útil en varios modelos usados en aprendizaje automático. 
Daniel Barrera. Usach
Geometría de las Variedades de Hecke y funciones L
Edificio Villanueva
El estudio de los valores especiales de la función Zeta de Riemann ha llamado la atención de muchos matemáticos. Este estudio por ejemplo llevó a Kummer (siglo 19) y Kubota-Leopold (años 60) a deducir la existencia de la función zeta en mundos no arquimedeanos.   
En los 70, Serre descubrió una íntima conexión entre este fenómeno y la idea de deformación no arquimedeana en la teoría de Formas Automorfas. Esta teoría acababa de ocupar un rol protagónico en el célebre programa de Langlands, lo que influyó en el desarrollo de las ideas de Serre y los grandes avances aparecidos en las últimas décadas. En la actualidad esta área se concentra en la geometría local de las llamadas variedades de Hecke y su interacción con la teoría de las funciones L p-ádicas.   

En esta charla explicaré las ideas de Serre y algunos resultados recientes en esta área de investigación.
Bena Tshishiku. Brown University
Mapping class groups and their cohomology
1er piso Edificio Villanueva
The mapping class group Mod(M) of a smooth manifold M is the group of diffeomorphisms of M, modulo isotopy. Mapping class groups play an important role in geometric topology, especially in low dimensions, and they have connections to algebraic geometry, homotopy theory, dynamics, and more. In this talk, we will highlight some of these connections with a focus on the problem of computing the cohomology of mapping class groups of surfaces. 
Dieter Mitsche . UC Chile
Grafos aleatorios hiperbólicos
Edificio Felipe Villanueva
Un grafo aleatorio es un grafo que es generado por algún tipo de proceso aleatorio. En el modelo más simple cada par de vértices está conectado por una arista con la misma probabilidad, independiente de otras aristas. Este modelo fue introducido por Erd?s y Rényi en los años 60: su resultado principal fue la aparición rápida de una componente conexa de tamaño lineal. Luego, con la idea de formalizar interferencias entre antenas, el modelo de grafos aleatorios geométricos fue introducido: los vértices están distribuidos uniformemente en el plano, y dos vértices están conectados por una arista si su distancia es inferior a un cierto radio umbral. 

Más recientemente, otros modelos de grafos aleatorios para redes complejas (como las conexiones de Internet, las conexiones de redes de telecomunicaciones, redes sociales y redes biológicas) fueron introducidos: el modelo Preferential Attachment, grafos inhomogéneos aleatorios geométricos, y también grafos hiperbólicos aleatorios. 

En esta charla explicaremos brevemente los modelos básicos de grafos aleatorios antes de discutir grafos hiperbólicos aleatorios más en detalle.
Federico Fuentes. UC Chile
Estabilidad global de fluidos regidos por las ecuaciones de Navier-Stokes
Edificio Felipe Villanueva
Una pregunta fundamental en la mecánica de fluidos es si un flujo laminar es no-linealmente estable a cualquier perturbación; es decir si una perturbación desaparece con el tiempo y el flujo vuelve a su estado laminar. Para una geometría y condiciones de frontera dadas, esto no siempre es cierto pues depende del número de Reynolds (a veces simplificado como la "viscosidad"). Solo para números de Reynolds suficientemente bajos (i.e. viscosidades suficientemente altas) se dará esta situación en donde el flujo laminar se dice que es globalmente estable. La manera usual de verificar este tipo de estabilidad, llamado el método de energía, que data a la primera década del siglo XX, es mostrar que la energía de la perturbación decae monotónicamente debajo de cierto número de Reynolds, llamado el límite de estabilidad energético. Sin embargo, para muchos flujos se ha observado experimentalmente que el flujo sigue siendo estable por encima del límite de estabilidad energético, pero matemáticamente esto no se había podido demostrar hasta hace poco. En esta charla introductoria discutiremos la estabilidad de fluidos, el método de energía, y nuevas metodologías que usan algoritmos modernos y se inspiran en resultados de geometría algebraica real para determinar la estabilidad global de fluidos por encima del límite de estabilidad energético.
Laura Eslava. Universidad Nacional Autónoma de México
Imperios en la evolución de redes
En las redes sociales suelen encontrarse nodos que conectan a una gran parte de la red; a éstos los llamamos imperios. ¿Cómo es que se forman estos imperios? ¿Cómo podemos encontrarlos? Y ¿cómo podemos utilizarlos para proteger o destruir las redes?

Una forma simplificada de entender las redes sociales es a través de los modelos aleatorios de crecimiento de árboles. En esta plática definimos dos modelos básicos que tienen sus orígenes en 1970; discutiremos cómo es que la selección del método aleatorio determina las características de los imperios y veremos algunas aplicaciones de ataques dirigidos a redes.

Pablo Shmerkin. The University of British Columbia
Contando distancias: los problemas de Erdös y Falconer
¿Cómo se relacionan los tamaños de un subconjunto del plano (o algún otro espacio métrico) y el tamaño del conjunto de distancias determinadas por pares de puntos del conjunto? Esta pregunta, elemental y muy simple de plantear, resulta ser muy difícil de responder y tener conexiones con numerosas áreas de la combinatoria y el análisis. En la charla voy a dar una introducción a dos versiones de esta pregunta, los problemas de Erdös y de Falconer, que resultan de medir "tamaño" utilizando cardinalidad y dimensión de Hausdorff, respectivamente (no se requerirá familiaridad previa con dimensión de Hausdorff ni ningún otro concepto avanzado).
José Manuel Gómez. Universidad Nacional de Colombia
Espacios de parejas que conmutan en grupos de Lie y espacios de representaciones
El objetivo de esta charla es estudiar los espacios de parejas que conmutan en grupos de Lie y los correspondientes espacios de representaciones.  En particular vamos a ver que estos espacios de representaciones se pueden describir como ciertos espacios proyectivos con pesos.  A lo largo de la charla vamos a explorar algunos ejemplos ilustrativos.