Santiago Number Theory and Algebra Seminar (SANTAS)

El Santiago Number Theory and Algebra Seminar (SaNTAS) es un seminario de investigación organizado en conjunto por la Universidad de Santiago de Chile, la Universidad de Chile y la Pontificia Universidad Católica de Chile.
Los expositores serán investigadores invitados que trabajan en temas afines al álgebra y teoría de números, y está orientado a estudiantes de postgrado e investigadores de universidades locales.

Organizadores: David Grimm (Usach), Giancarlo Lucchini (UCh), Federico Castillo (UC).

2022-06-06
15:30hrs.
Diego Izquierdo. École Polytechnique
K-teoría de Milnor y cero-ciclos sobre cuerpos de funciones p-ádicos
Sala 5
Abstract:
En 1986, Kato y Kuzumaki introdujeron varias conjeturas para caracterizar la dimensión cohomológica de los cuerpos en términos diofánticos. Dichas conjeturas son falsas en toda generalidad, pero son una fuente de problemas interesantes sobre diversos cuerpos en geometría aritmética. En esta charla, hablaremos del caso de los cuerpos de funciones de curvas p-ádicas. Se trata de un trabajo en colaboración con Giancarlo Lucchini Arteche.
2022-05-23
15:30hrs.
Yves Martin. Universidad de Chile
Una forma cuadrática entera, pos. definida, y primitiva, representa infinitos primos
Sala 5
Abstract:
En 1882 H. Weber demostró que toda forma cuadrática entera y primitiva en dos variables representa un número infinito de primos. Sorprendentemente ninguna versión de este resultado en $n$ variables aparece en la literatura (aunque es posible que sea conocida por expertos en el área).
En esta charla presentaré una demostración del resultado en el título que solo requiere el caso binario obtenido por Weber y argumentos elementales de algebra lineal.
2022-05-09
15:30hrs.
Héctor Pastén. UC
Sobre la conjetura de Hall
Sala 5
Abstract:
La conjetura de Hall predice que en una curva elíptica de Mordell $y^2=x^3-k$ con $k$ entero, las soluciones enteras no pueden ser demasiado grandes: cuando mucho, polinomiales en $k$. Salvo evidencia numérica, se saben muy pocos resultados teóricos sobre esta conjetura.
En esta charla presentaré una conjetura equivalente sobre altura de curvas elípticas. Usando la teoría de aproximación diofantina, demostraré esta última conjetura para varias familias de curvas elípticas.
2022-04-25
15:30hrs.
Sebastián Reyes Carocca. Universidad de Chile
Automorfismos de superficies de Riemann de género p+1 donde p es primo
Sala 5
Abstract:
En esta charla consideraremos superficies de Riemann compactas (o curvas algebraicas complejas), sus automorfismos y acciones de grupos sobre ellas. Se presentarán algunos resultados recientes sobre clasificación de ciertas acciones cuando el género de la superficie es de la forma $p+1$, donde $p$ es un número primo. Este es un trabajo en conjunto con Milagros Izquierdo (Universidad de Linköping) y Gareth A. Jones (Universidad de Southampton).
2022-04-11
15:30hrs.
Héctor del Castillo. Universidad de Santiago de Chile
Conjetura de funtorialidad de Langlands genérica para SO*(2n) en característica positiva
Sala 5
Abstract:
Sobre un cuerpo de números, Cogdell, Kim, Piatetski-Shapiro y Shahidi demuestran la conjetura de funtorialidad de Langlands para representaciones automorfas cuspidales globalmente genéricas de grupos clásicos escindidos, grupos unitarios y grupos ortogonales especiales pares cuasi escindidos. Lomelí extiende este resultado para grupos clásicos escindidos y grupos unitarios en característica positiva. En esta charla presentaremos la conjetura de funtorialidad de Langlands para representaciones automorfas cuspidales globalmente genéricas de grupos ortogonales especiales pares cuasi escindidos en característica positiva mediante el teorema del recíproco, combinado con el método de Langlands-Shahidi.
2022-03-28
15:30hrs.
Federico Castillo. UC
¿Cuándo son los multigrados positivos?
Sala 5
Abstract:
La noción de multigrado para las variedades multi proyectivas extiende la de grado para las variedades proyectivas. Pueden definirse en términos geométricos, utilizando la teoría de la intersección, o alternativamente en términos algebraicos, mediante el polinomio hilbert. Estudiamos el problema de su positividad y establecemos una descripción combinatoria en términos de poliedros. Como aplicación principal veremos como nuestro criterio describe el politopo de Newton de polinomios (dobles y estándar) de Schubert, resolviendo así una conjetura de Monical, Tokcan y Yong.
Basado en trabajo conjunto con Yairon Cid-Ruiz, Binglin Li, Fatemeh Mohammadi, Jonathan Montaño, y Naizhen Zhang.

http://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/santas.html
2020-03-16
14:00hrs.
Eduardo Friedman. Universidad de Chile
[cancelado] Unconditional discriminant lower bounds exploiting violations of the Generalized Riemann Hypothesis
Sala 2
Abstract:
 


2020-03-04
14:00hrs.
Eyal Goren. Mcgill University
Complex multiplication - old and new
Sala 1
Abstract:
The theory of complex multiplication is more than a century old; its origins date back to Klein, Hilbert, Kummer, Weber, Deuring and many others. It has been instrumental in the development of class field theory and algebraic number theory. Yet, more than a century later we find new theorems that are truly surprising. 
I will start with this historical perspective and try to position some of these new developments in the light of the André-Oort conjecture - a conjecture in the area of Shimura varieties that was recently resolved by Tsimerman, building on ideas of Edixhoven, Pila, Wilkie and Zannier. The resolution rests on the averaged Colmez conjecture, a conjecture that addresses the arithmetic complexity of abelian varieties with complex multiplication, which was proved by Andreatta-Howard-Madapusi Pera and the speaker, and, independently, by Yuan-Zhang.
2020-01-22
14:30hrs.
Karim Johannes Becher. Universiteit Antwerpen
Quadratic forms and diophantine sets
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
The interplay between valuations and certain geometrically rational varieties, in particular quadrics, has turned out to be very fruitful for proving that certain subsets of fields are existentially definable or diophantine. In particular, this has been used by J. Koenigsmann to prove that $\mathbb{Q}\backslash \mathbb{Z}$ is diophantine in $\mathbb{Q}$. His proof combines several ingredients from classical number theory, involving in particular the Hasse-Minkowski local-global principle for quadratic forms. In my talk I want to highlight some ingredients of proofs for showing that certain subsets of fields are diophantine and some interesting questions for quadratic forms arising from this context.
2020-01-22
10:00hrs.
Diego Izquierdo. École Polytechnique
Lambda-buildings associated to quasi-split groups over Lambda-valued fields
Sala de seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Let $\Lambda$ be a totally ordered abelian group and let $K$ be a Henselian $\Lambda$-valued field. Let $G$ be a quasi-split reductive group over $K$. In 1972, Bruhat and Tits constructed a building on which the group $G(K)$ acts provided that $\Lambda$ is a subgroup of the real numbers. In this talk, we will deal with the general case where there are no assumptions on $\Lambda$ and construct a $\Lambda$-building in the sense of Bennett on which $G(K)$ acts.
2020-01-14
14:30hrs.
Chao Li. Columbia University
On the Kudla-Rapoport conjecture
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
The classical Siegel-Weil formula relates certain Siegel Eisenstein series with quadratic forms, namely expressing special values of these series as theta functions --- generating series of representation numbers of quadratic forms. The influential program of Kudla aims to establish the arithmetic Siegel-Weil formula, which relates the derivative of certain Siegel Eisenstein series with generating series from arithmetic geometry. We will report a proof of the Kudla-Rapoport conjecture, and discuss its application to L-functions such as generalizations of the Gross-Zagier formula to higher dimension. This is joint work with Wei Zhang.
2019-12-18
14:30hrs.
Victor Delage. Ens Rennes
From regulous to rational bounded functions
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
A rational function (quotient of polynomials from $k[X_1, ... X_n]$) is called regular when it lies in a regular ring. For an algebraically closed field k, a regular function has to be polynomial, but when studying the real case, some new functions appear: the ones whose denominators have no zeros, like $\frac{1}{1+X^2}$.
Here the regular functions extend quite naturally to regulous functions: when the denominator may have some zero, but when it happens, so does the numerator "in a stronger way" and the function is still continuous. Regulous functions have some very interesting properties, both algebraic and geometric, like nœtherianity of the topology, radical principality or Cartan's theorems A and B. An arising question is then whether bigger function rings may keep interesting properties; and we propose to loosen the continuity hypothesis to make it a bounded hypothesis; and see what happens.
2019-10-02
14:30hrs.
Cristóbal Rivas. Universidad de Santiago de Chile
Sobre grupos residualmente finitos y generalizaciones
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
En esta charla discutiremos sobre grupos residualmente finitos y algunas de sus generalizaciones. Por ejemplo, hablaremos sobre grupos localmente inyectables en grupos finitos (LIF) y sobre grupos sóficos. Mi intención es ilustrar mediante ejemplos las diferencias entre estas nociones.
2019-09-25
14:30hrs.
Jerson Caro. Pontificia Universidad Católica de Chile
Contando el número de puntos racionales de una subvariedad en una variedad abeliana
Sala de seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Siguiendo las ideas de Chabauty y Coleman para acotar el número de puntos racionales de una curva de genero mayor o igual a 2, buscamos una cota efectiva para el número de puntos racionales de una subvariedad de una variedad abeliana simple cuyos puntos racionales forman un grupo abeliano de rango 1. La teoría de grupos de Lie p-ádicos y el principio de unicidad sobre campos no arquimedianos, juegan un papel importante en nuestro proceso.
2019-09-04
14:30hrs.
Adrián Zenteno. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
El problema inverso de Galois para ciertos grupos de tipo Lie
Sala de seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
En años recientes, el estudio de la imagen de representaciones de Galois asociadas a representaciones automorfas (vía la correspondencia de Langlands) y la funtorialidad de Langlands ha resultado ser una herramienta muy util para demostrar que familias infinitas de grupos de tipo Lie son grupos de Galois de alguna extensión finita del campo de los números racionales. El objetivo de esta charla, es explicar como estas técnicas ayudan a resolver el problema inverso de Galois para infinitos grupos de tipo Lie e informar sobre los recientes avances en dicho problema.
2019-08-21
14:30hrs.
Martí Lahoz. Universitat de Barcelona
Stability conditions on non-commutative K3 surfaces
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
The introduction by Bridgeland of a notion of stability for objects in triangulated categories has enabled the construction of moduli spaces on them. Not only this, but thanks to the great flexibility of this notion, it has allowed to study the birational geometry on these moduli spaces. Unfortunately, the main open problem is the existence of such stability conditions. Their construction for derived categories of smooth projective surfaces has had a tremendous impact for the study of the birational geometry of their moduli spaces. In particular, for the hyperkähler moduli spaces on K3 surfaces by the work of Bayer-Macri.

In this talk, I will introduce the notion of stability conditions on triangulated categories and I will explain how to construct them on noncommutative K3 surfaces arising from cubic fourfolds. Finally, I will construct new locally complete polarized families of hyperkähler manifolds as moduli spaces of objects on these noncommutative K3 surfaces.
2019-08-07
14:30hrs.
Álex Capuñay. Universidad de Chile
Algoritmo para determinar dominios fundamentales de cuerpos de números
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Takuro Shintani probó en 1976 y 1979 que para la acción del grupo de unidades totalmente positivas de un cuerpo de números existe un dominio fundamental dado como una unión finita de conos simpliciales con generadores en tal cuerpo. Sin embargo él no entrega un procedimiento práctico de como obtener tales conos que definen un dominio fundamental. Más tarde, Colmez en 1989 prueba que en el caso de cuerpos totalmente reales existen ciertos subgrupos especiales de unidades para los cuales él puede producir explícitamente conos (llamados "conos de Colmez") que definen un dominio fundamental. Usando métodos topológicos, Díaz y Díaz y Friedman en 2014 probaron que tales conos de Colmez definen lo que ellos llaman un "dominio fundamental con signo". Estos dominios fundamentales con signo contienen un verdadero dominio fundamental. Muy recientemente Espinoza y Friedman construyen explícitamente un dominio con signo para cualquier cuerpo de números con al menos una incrustación real.
 
Nosotros en esta charla intentaremos explicar un procedimiento algorítmico para la obtención de un verdadero dominio fundamental del tipo Shintani desde un dominio con signo.
2019-07-24
14:30hrs.
Benoit Loisel. Ens Lyon
On compact-open subgroups of linear algebraic groups over local fields
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Let $G$ be a linear algebraic group over a field $k$. Assuming that $G$ is a reductive group, Tits indices provide a classification up to isogeny. In characteristic $p$, a natural generalization is provided by Conrad, Gabber and Prasad from their work on pseudo-reductive groups that provides a classification over any field up to commutative groups. If $k$ is a local field and $G$ is a reductive group, the classification can be refined by Bruhat-Tits theory in order to provide a classification of rational points $G(k)$.

In this talk, we focus on a general linear algebraic group $G$ over a local field $k$. By a use of standard construction of pseudo-reductive groups and by considering open subgroups of the topological group $G(k)$, one can provide algebraic conditions on $G$ equivalent to the existence of maximal compact subgroups in $G(k)$. For groups satisfying these conditions, we provide a sequence of successive quotients from $G(k)$ satisfying some conditions.

2019-07-10
14:30hrs.
Milton Espinoza. Universidad de Valparaíso
Una pareja de coeficientes de Taylor
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Existen muchas y diversas generalizaciones de la función zeta de Riemann. Entre ellas, se distingue la función zeta de Dedekind por su simpleza: corresponde a un cuerpo de números arbitrario como la primera, al cuerpo de números racionales. Dada su calidad de función meromorfa en el plano complejo, podemos preguntarle sobre sus coeficientes de Taylor en puntos regulares; particularmente, en los enteros negativos y el cero. Se han obtenido respuestas bastante claras sobre los coeficientes constantes, pero ya más nebulosas acerca de los lineales. En esta charla, nos concentraremos en cuerpos de números cuadráticos reales para resumir algunos hitos en esta historia, bosquejaremos sus impactos aritméticos y presentaremos algunos avances de un trabajo en curso.
2019-07-02
16:30hrs.
Adrián Zenteno. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
[Cancelado] El problema inverso de Galois para ciertos grupos de tipo Lie
Sala de seminarios (4to piso) Dpto de Matemática y Ciencias de la Computación USACH
Abstract:
En años recientes, el estudio de la imagen de representaciones de Galois asociadas a representaciones automorfas (vía la correspondencia de Langlands) y la funtorialidad de Langlands ha resultado ser una herramienta muy util para demostrar que familias infinitas de grupos de tipo Lie son grupos de Galois de alguna extensión finita del campo de los números racionales. El objetivo de esta charla, es explicar como estas técnicas ayudan a resolver el problema inverso de Galois para infinitos grupos de tipo Lie e informar sobre los recientes avances en dicho problema.