En 1882 H. Weber demostró que toda forma cuadrática entera y primitiva en dos variables representa un número infinito de primos. Sorprendentemente ninguna versión de este resultado en $n$ variables aparece en la literatura (aunque es posible que sea conocida por expertos en el área).

En esta charla presentaré una demostración del resultado en el título que solo requiere el caso binario obtenido por Weber y argumentos elementales de algebra lineal.

La noción de multigrado para las variedades multi proyectivas extiende la de grado para las variedades proyectivas. Pueden definirse en términos geométricos, utilizando la teoría de la intersección, o alternativamente en términos algebraicos, mediante el polinomio hilbert. Estudiamos el problema de su positividad y establecemos una descripción combinatoria en términos de poliedros. Como aplicación principal veremos como nuestro criterio describe el politopo de Newton de polinomios (dobles y estándar) de Schubert, resolviendo así una conjetura de Monical, Tokcan y Yong.

Basado en trabajo conjunto con Yairon Cid-Ruiz, Binglin Li, Fatemeh Mohammadi, Jonathan Montaño, y Naizhen Zhang.

 

Here the regular functions extend quite naturally to regulous functions: when the denominator may have some zero, but when it happens, so does the numerator "in a stronger way" and the function is still continuous. Regulous functions have some very interesting properties, both algebraic and geometric, like nœtherianity of the topology, radical principality or Cartan's theorems A and B. An arising question is then whether bigger function rings may keep interesting properties; and we propose to loosen the continuity hypothesis to make it a bounded hypothesis; and see what happens.

En años recientes, el estudio de la imagen de representaciones de Galois asociadas a representaciones automorfas (vía la correspondencia de Langlands) y la funtorialidad de Langlands ha resultado ser una herramienta muy util para demostrar que familias infinitas de grupos de tipo Lie son grupos de Galois de alguna extensión finita del campo de los números racionales. El objetivo de esta charla, es explicar como estas técnicas ayudan a resolver el problema inverso de Galois para infinitos grupos de tipo Lie e informar sobre los recientes avances en dicho problema.

The introduction by Bridgeland of a notion of stability for objects in triangulated categories has enabled the construction of moduli spaces on them. Not only this, but thanks to the great flexibility of this notion, it has allowed to study the birational geometry on these moduli spaces. Unfortunately, the main open problem is the existence of such stability conditions. Their construction for derived categories of smooth projective surfaces has had a tremendous impact for the study of the birational geometry of their moduli spaces. In particular, for the hyperkähler moduli spaces on K3 surfaces by the work of Bayer-Macri.

Takuro Shintani probó en 1976 y 1979 que para la acción del grupo de unidades totalmente positivas de un cuerpo de números existe un dominio fundamental dado como una unión finita de conos simpliciales con generadores en tal cuerpo. Sin embargo él no entrega un procedimiento práctico de como obtener tales conos que definen un dominio fundamental. Más tarde, Colmez en 1989 prueba que en el caso de cuerpos totalmente reales existen ciertos subgrupos especiales de unidades para los cuales él puede producir explícitamente conos (llamados "conos de Colmez") que definen un dominio fundamental. Usando métodos topológicos, Díaz y Díaz y Friedman en 2014 probaron que tales conos de Colmez definen lo que ellos llaman un "dominio fundamental con signo". Estos dominios fundamentales con signo contienen un verdadero dominio fundamental. Muy recientemente Espinoza y Friedman construyen explícitamente un dominio con signo para cualquier cuerpo de números con al menos una incrustación real.

 

Nosotros en esta charla intentaremos explicar un procedimiento algorítmico para la obtención de un verdadero dominio fundamental del tipo Shintani desde un dominio con signo.

Let $G$ be a linear algebraic group over a field $k$. Assuming that $G$ is a reductive group, Tits indices provide a classification up to isogeny. In characteristic $p$, a natural generalization is provided by Conrad, Gabber and Prasad from their work on pseudo-reductive groups that provides a classification over any field up to commutative groups. If $k$ is a local field and $G$ is a reductive group, the classification can be refined by Bruhat-Tits theory in order to provide a classification of rational points $G(k)$.