Seminario de Teoría de Números

El Seminario de Teoría de Números en la UC está dirigido a estudiantes de pregrado y postgrado que estén interesados en el área. El objetivo será presentar variados temas dentro de la teoría de números de una manera autocontenida, para así mostrar a los estudiantes los temas que actualmente son de interés para los teoristas de números. Los expositores serán voluntarios dentro de los participantes del seminario.


2022-11-25
14:00hrs.
Andrés Morán. UC
Curvas elípticas en criptografía: aplicaciones de la estructura de grupo y de curvas elípticas supersingulares
Sala 5
Abstract:
Establecer canales seguros de comunicación es un problema que antecede a la informática moderna. Sin embargo, el incremento de la capacidad de cómputo y las nuevas tecnologías amenazan la vigencia de los protocolos criptográficos existentes. El propósito de la charla consiste en contextualizar la importancia de las curvas elípticas en criptografía. En particular, se introducirán los preliminares básicos sobre curvas elípticas y terminología propia de criptografía. Se procederá a comentar el problema del logaritmo discreto, para tratar el protocolo de Diffie-Hellman elíptico. Luego, se verá una aplicación ofensiva: el algoritmo de factorización de enteros de Lenstra. Posteriormente, se hablará del problema del subgrupo oculto, el cual generaliza al problema de factorización de enteros y al logaritmo discreto, conduciendo hacia un hipotético escenario post-cuántico. Esto nos llevará a definir grafos de isogenia, y finalmente, a describir el protocolo de Diffie-Hellman de isogenia supersingular (SIDH), el cual pretende ser resistente a un ataque en un escenario post-cuántico. Se resaltará que algunas versiones de SIDH han sido vulneradas mediante el uso de un computador convencional, por lo cual el protocolo SIDH requiere ser mejorado.

Palabras clave: seguridad, elíptica, criptografía, Diffie-Hellman, Lenstra, isogenia, supersingular, SIDH, informática
2022-11-18
14:00hrs.
Ricardo Menares. UC
Curvas elípticas p-ádicas
Sala 5
Abstract:
Explicaré algunas características del espacio de módulos de curvas elípticas p-ádicas y un problema de aproximación diofantina que aparece naturalmente.
2022-11-11
14:00hrs.
Felipe Hernández. UC
Metodo de Chabauty-Coleman y un unico par de triangulos
Sala 5
Abstract:
En esta charla presentaremos las tecnicas del analisis p-adico para probar el teorema de coleman, una versión efectiva del teorema de Chabauty de donde se obtiene una cota para el número de puntos racionales en una curva bajo ciertas hipotesis. Ademas se mostrara una aplicación de esto para probar un teorema sobre pares de triangulos.
2022-11-04
14:00hrs.
Benjamín Macías. UC
Puntos enteros en órbitas de funciones racionales
Sala 5
Abstract:
En esta charla usaremos un teorema de Siegel y un resultado geométrico para probar que las órbitas de puntos errantes bajo funciones racionales tienen a lo más finitos puntos enteros.
2022-10-28
14:00hrs.
Héctor Pastén. UC
La conjetura de Casas-Alvero
Sala 5
Abstract:
El polinomio $(x-a)^d$ tiene la propiedad que comparte un cero con cada una de sus derivadas. En 2001 Casas-Alvero conjeturó un recíproco de esta afirmación para polinomios complejos. En general la conjetura sigue abierta pero algunos avances se conocen, usando esquemas sobre $\mathbb{Z}$ y aritmética sobre campos finitos. En esta charla daré un resumen de lo que se sabe y lo que no se sabe en relación a esta conjetura.
2022-10-21
14:00hrs.
Tobías Martínez. Universidad Técnica Federico Santa María
Hipótesis de Riemann extendida
Sala 5
Abstract:
La hipótesis de Riemann es uno de los 7 problemas del milenio, ha atraído a numerosos matemáticos de todas las épocas posteriores a su formulación.
En esta charla presentaremos la hipótesis de Riemann y mencionaremos su conexión con el Teorema de los números primos. También discutiremos la hipótesis de Riemann extendida, es decir, la descripción del lugar dónde se espera se encuentren los ceros no triviales de la función zeta de Dedekind.
2022-10-14
14:00hrs.
Matías Alvarado. UC
Una introducción a los módulos de Drinfeld
Sala 5
Abstract:
En los años 70, Vladimir Drinfeld definió ciertos objetos a los que llamó módulos elípticos (hoy llamados módulos de Drinfeld), con el objetivo de abordar las conjeturas de Langlands para $GL_n$ sobre campos de funciones globales. Cabe señalar que los primeros ejemplos de estos, fueron trabajados en los años 30 por Carlitz, pero Drinfeld los generalizó.  Con el tiempo, estos módulos fueron tomando aún mayor importancia, ya que permitía demostrar varios teoremas análogos a teoremas sobre campos de números. En esta charla definiremos los módulos de Drinfeld, mostraremos su analogía con la aritmética de campos de números, y mencionaremos algunas de sus propiedades y aplicaciones.
2022-10-07
14:00hrs.
Benjamín Barrios. UC
Teoría de Números y Teoría de Nevanlinna
Sala 5
Abstract:
La Teoría de Nevanlinna consiste en el estudio de la distribución de los valores de una función holomorfa o meromorfa. En esta charla definiremos el concepto de altura en Teoría de Nevanlinna y veremos cómo algunos resultados en Teoría de Números se traducen en el lenguaje de Teoría de Nevanlinna y viceversa.
2022-09-30
14:00hrs.
José Cuevas. UC
¿Cuándo es -1 una suma de cuadrados?
Sala 5
Abstract:
Existen cuerpos en donde -1 es suma de cuadrados (e.g., los complejos), ¿pero cuánto es la mínima cantidad de términos necesarios? En ésta charla responderemos ésta y otras preguntas sobre sumas de cuadrados.
2022-09-23
14:00hrs.
Rocío Sepúlveda. UC
Conjuntos no diofantinos
Sala 5
Abstract:
A partir de las relaciones del conjunto de los enteros y de los racionales, podemos identificar conjuntos diofantinos y no diofantinos sobre anillos de polinomios. Esta charla tiene el objetivo de entregar herramientas para poder acercarse al problema abierto del conjunto de grados de polinomios.
2022-09-09
14:00hrs.
Héctor Pastén. UC
Conjuntos No Diofantinos y el Teorema de Kollar
Sala 5
2022-08-26
14:00hrs.
Héctor Pastén. UC
Curvas elípticas y definibilidad
Sala 5
Abstract:
Comenzaremos con una breve introduccción a las curvas elípticas. Con esta herramienta vamos a demostrar un teorema clásico de Raphael Robinson de los años 60 que afirma que las constantes $\mathbb{Q}$ son definibles en las funciones racionales $\mathbb{Q}(z)$.
2022-08-19
14:00hrs.
Natalia García. UC
Conjuntos Diofantinos
Sala 5
2022-06-17
14:00hrs.
Jerson Caro. UC
Propiedad de Northcott para valores de la función zeta de Dedekind
Sala 5
Abstract:
Dada una función $f$ desde un conjunto $S$ a un conjunto $\Gamma$ parcialmente ordenado, decimos que satisface la propiedad de Northcott si para todo $\gamma\in\Gamma$ el conjunto de $s\in S$, tal que $f(s)\leq \gamma$, es finito. Por ejemplo, si tomamos $S$ el conjunto de los campos de números la función $K\mapsto D_K$ (donde $D_K$ es el discriminante de $K$) satisface dicha propiedad (Hermite-Minkowski Theorem).
Por otra parte, cada campo de números $K$ tiene asociada la función zeta de Dedekind $\zeta_K(s)$ la cuál está definida para $s\in\mathbb{C}$ con $\mathrm{Re}(s)>1$, y se puede extender a todo el plano complejo obteniendo así una función holomorfa salvo en $s=1$ en donde tiene un polo simple.
Nos podemos preguntar para que valores de $s$ la función $K\mapsto|\zeta_K(s)|$ satisface la propiedad de Northcott. Aquí debemos tener cuidado cuando $\zeta_K(s)=0$ y en $s=1$. En esta charla hablaremos del trabajo de Pazuki & Pengo (2021) en donde se da respuesta a la pregunta cuando $s\in\mathbb{Z}$. Además hablaremos de una respuesta parcial para el análogo sobre campos de funciones en caraterística positiva, trabajo de Généreux, Lalín & Li (2022).
2022-06-10
14:00hrs.
Patricio Pérez. UC
Recurrencias lineales y el Teorema de Skolem-Mahler-Lech
Sala 5
Abstract:
Dada una sucesión $a_n$ determinada por una recurrencia lineal, el Teorema de Skolem-Mahler-Lech nos dice que el conjunto de ceros de la sucesión (índices donde se anula $a_n$) es eventualmente periódico. Más precisamente, establece que este conjunto puede descomponerse en una unión de un conjunto finito y finitas progresiones aritméticas, todas con la misma diferencia. Durante la charla demostraremos este resultado para recurrencias en $\mathbb{Q}$ con herramientas $p$-ádicas.
2022-06-03
14:00hrs.
Rocío Sepúlveda. UC
Extensiones del Décimo problema de Hilbert
Sala 5
Abstract:
Se abarcará la relación de la lógica con la aritmética para el estudio del HTP. Posteriormente se trabajará un caso particular del artículo de J. Denef y finalmente se enunciará dos extensiones que puede proyectar a una solución más general del HTP.
2022-05-27
14:00hrs.
Benjamín Macías. UC
Introducción a los números p-ádicos
Sala 5
Abstract:
Los números p-ádicos son un sistema numérico resultante de completar Q respecto a una métrica distinta a la usual. Su importancia reside en que codifican información aritmética, por lo que resultan una potente herramienta para el estudio de la teoría de números. En esta charla presentaremos una introducción elemental, prestando atención a su construcción, propiedades básicas, y deteniéndonos en aplicaciones del Lema de Hensel.
2022-05-20
14:00hrs.
Mathias Luengo. UC
Schneider-Lang: Trabajando sobre complejos para resultados reales
Sala 5
Abstract:
Se construirá una demostración con herramientas algebraicas y de variable compleja para el Teorema de Schneider-Lang con el objetivo de lograr resultados sobre la trascendencia de números reales, particularmente irracionales.
2022-05-13
14:00hrs.
Matías Alvarado. UC
Sobre el teorema de Faltings para curvas
Sala 5
Abstract:
En esta charla, discutiremos brevemente sobre la historia y los avances en la resolución de ecuaciones diofantinas, para luego dar pie a la exposición de algunos preliminares necesarios de la geometría aritmética con el fin de comprender el enunciado del teorema de Faltings.
2022-05-06
14:00hrs.
Fernanda Cares. UC
Números primos que se escriben como suma de dos cuadrados
Sala 5
Abstract:
El teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados caracteriza a todos los números primos impares que pueden ser expresados de la forma $x^2+y^2$ con $x$ e $y$ enteros. En esta charla demostraremos este teorema de dos maneras y luego mencionaremos algunas de sus generalizaciones.