Seminario Santas

TBA

La función simétrica cromática de un grafo (Stanley, 1995) es un invariante que, conjeturalmente, distingue árboles. Una forma de atacar esa conjetura es pasar por un invariante más fino, el M-polinomio en variables "punteadas" z_m,k, del que la función cromática se obtiene por una sustitución explícita: undotting. La pregunta central es: ¿podemos reconstruir el M-polinomio desde la función simétrica cromática?

En la charla mostraremos cómo esa pregunta, nacida en combinatoria, se vuelve una pregunta de álgebra conmutativa: la sustitución es un morfismo de álgebras polinomiales, su núcleo es un ideal, y las obstrucciones a la reconstrucción pueden entenderse en este lenguaje. Las Bases de Gröbner y la teoría de eliminación permiten describirlas: la eliminación de la variable trivial revela una estructura determinantal, y la variedad asociada es una variedad tórica no normal. Para una familia particular de árboles se puede decir bastante más: allí el ideal se simplifica y es posible calcular sus resoluciones explícitamente.

La charla es autocontenida: no se requiere conocimiento previo de grafos ni de funciones simétricas.

Motivados por las conjeturas de Kaneko sobre los "valores" de la función modular j en irracionales cuadráticos reales y por los trabajos de Spalding y Veselov, junto con Paloma Bengoechea y Özlem Imamoglu hemos definido y estudiado ciertas funciones GL(2, Z)-invariantes sobre la recta real asociadas a funciones modulares, con propiedades interesantes relacionadas con aproximación diofántica. Estas funciones están definidas como exponentes de Lyapunov usando la expansión en fracciones continuas de números reales y los "valores" de funciones modulares en irracionales cuadráticos reales. El propósito de esta charla es explicar la construcción de dichas funciones y sus principales propiedades.

En este trabajo estudiamos la relación entre las S-expansiones de álgebras de Lie y otras transformaciones que permiten construir nuevas álgebras. En particular, probamos que las contracciones, deformaciones y extensiones centrales de álgebras de Lie son preservadas por las S-expansiones.

El anillo de Cox de una variedad proyectiva es un anillo graduado Cox(X) que codifica las secciones globales de fibrados de líneas de X. Si Cox(X) es finitamente generado, decimos que X es un Mori Dream Space. En este caso, podemos deducir información geométrica de X a partir de información algebraica de su anillo de Cox. Por otro lado, el caso cuando el anillo de Cox no es finitamente generado no ha sido muy estudiado.

La conjetura del cono de Kawamata-Morrison, después del trabajo de Gachet, Lin, Stenger y Wang, predice que el cono de divisores efectivos de una variedad Calabi-Yau puede ser descrito como la órbita de un subcono racional poliedral bajo la acción de las simetrías inducidas por el grupo de automorfismos birracionales de X. En esta charla, introduciré un método para entender el anillo de Cox, incluso cuando éste no es finitamente generado, de una variedad Calabi-Yau que satisface la conjetura del cono.

Esta charla reporta un trabajo en conjunto con Tomoki Oda y Juan Pablo Zúñiga.

Es un hecho clásico que dos superficies K3 pueden ser derivadamente equivalentes sin ser isomorfas. Las superficies de Gushel–Mukai, una familia distinguida de superficies K3 que surgen como secciones lineales de la Grassmanniana Gr(2,5), ofrecen un marco natural para explorar este fenómeno, gracias a la noción de dualidad introducida por Debarre y Kuznetsov.

En esta charla mostramos que un par muy general de superficies de Gushel–Mukai duales proporciona exactamente uno de estos ejemplos: son derivadamente equivalentes, e incluso L-equivalentes en el anillo de Grothendieck de variedades, pero no isomorfas. Aplicamos este resultado a una familia de variedades de Fano de dimensión cuatro de tipo K3 conocida como K3-38 (en la clasificación de Bernardara–Fatighenti–Manivel–Tanturri) que admite dos descomposiciones semiortogonales naturales de su categoría derivada acotada. Mostramos que estas descomposiciones no coinciden, y que las superficies K3 que aparecen como sus componentes de Kuznetsov son de nuevo derivadamente equivalentes y L-equivalentes, pero no isomorfas.

Esto responde una pregunta que dejaron abierta los autores de esa clasificación. Este es un trabajo conjunto con Ian Selvaggi de la SISSA.

Sea ℂ_∞ la completación de una clausura algebraica de 𝔽_q((T^-1)). Los 𝔽_q[T]-módulos de Drinfeld de rango 2 sobre ℂ_∞ se pueden ver como objetos análogos a las curvas elípticas sobre ℂ. En esta charla describiremos la proporción asintótica de aquellos módulos de Drinfeld con multiplicación compleja (CM) que se reducen a una componente irreducible fija de la reducción rígido-analítica de la curva modular de Drinfeld. Esto puede interpretarse como un análogo en característica positiva de los resultados clásicos de distribución para curvas elípticas con CM. Trabajo en conjunto con Matías Alvarado (U. de Talca).